3 forces sont à prendre en considération pour chacune des boules.

1) Poids de la boule (mg), vertical vers le bas.
2) Poussée d'Archimède de l'air sur la boule (vertical vers le haut)
3) Force de frottement aérodynamique de l'air sur la boule (vertical vers le haut si la boule chute verticalement).

On peut montrer que dans l'air, pour des vitesses autres que très très petites, la force de frottement aérodynamique est : F = 1/2. Rho(air).S.Cx.v²
Avec Rho(air) = 1,3 kg/m³ (environ), S étant le mâitre couple, soit la section de la boule qui résiste à l'air, donc Pi.R² (R rayon de la boule), Cx = 0,5 environ pour une boule et v la vitesse de la boule par rapport à l'air.

On a donc :

mg - 1/2. Rho(air).Pi.R².Cx.v² - 4/3.Pi.R³.Rho(air).g = m dv/dt

accélération de la balle (vers le bas) : d²z/dt² = dv/dt = g - 1/2. Rho(air).Pi.R².Cx.v²/m - 4/3.Pi.R³.Rho(air).g/m

Pour les 2 balles, on connait m (masse), R (rayon) et on peut donc résoudre l'équation différentielle... trouver v(t) et en déduire z(t), donc trouver la valeur de t pour l'instant de l'impact au sol ...

Merci JP pour cette réponse très complète, je vais maintenant la reprendre à mon rythme pour intégrer tout ce qu'elle renferme, merci encore !!!    - actarus -

Sans vérifications, voila les calculs :

Avec des données plus proches de la réalité, soit :

golf : m = 45g et R = 21 mm
Pétanque :  m = 700g et R = 4 cm
*****
dv/dt = g - 1/2. Rho(air).Pi.R².Cx.v²/m - 4/3.Pi.R³.Rho(air).g/m

golf :
dv/dt = 9,8 - 1/2 * 1,3 * Pi * 0,021² * 0,5 .v²/0,045 - 4/3.Pi.0,021³ * 1,3 * 9,8/0,045
dv/dt = 9,789 - 0,01.v²

Pétanque :
dv/dt = 9,8 - 1/2 * 1,3 * Pi * 0,04² * 0,5 * v²/0,7 - 4/3.Pi * 0,04³ * 1,3 * 9,8/0,7
dv/dt = 9,795 - 0,0023.v²
-----
golf :
3,19618.argth(0,0319618.v) = t + K
v(0) = 0 ---> K = 0
v = 31,3.th(0,313.t)
-----
Pétanque :
6,66432.argth(0,0153279.v) = t + K
v(0) = 0 ---> K = 0
v(t) = 65,2.th(0,15t)
-----
golf :
dz/dt = 31,3.th(0,313.t)
z(0) = -100 (axe des z pris vertical vers le bas)
z(t) = -100 + 100.ln(cosh(0,313.t))
touche le sol pour t1, tel que z(t1) = 0 ---> t1 = 5,3 s.
-----
Pétanque :
dz/dt = 65,2.th(0,15t)
z(0) = -100
z(t) = -100 + 434,7*ln(cosh(0,15.t))
touche le sol pour t2, tel que z(t2) = 0 ---> t2 = 4,7 s.

La boule de pétanque arrive au sol environ 0,6 s avant la balle de golf.
-----
Sauf distraction.  

Bonjour JP (merci pour cette belle réponse !!!) et tout le monde !,
Si je n'ai pas répondu avant c'est parce que j'étais en train de décrypter cette réponse mais je n'ai peut-être pas le baguage mathématique (bac E + iut) suffisant pour comprendre jusqu'au résultat !?
(prérequis aujourd'hui : Je me cale pour comprendre que sur le calcul de la balle de golf)

golf :
1)  dv/dt = 9,789 - 0,01.v² cette ligne là je la comprend c'est après que ça devient flou !...
                        je comprends qu'après il me faut la primitive de cette expression, comment obtiens-t 'on argth ça veux dire argument de tangente hyperbolique ?.... moi je sais  que si f(x)=x^3 +2x +1  alors F(x)= x^4/4 + x^2 + x + cste   mais là on a la primitive /t, /v ??? comment fais t'on svp ?...


2)  3,19618.argth(0,0319618.v) = t + K    peut-on développer, argumenter la ligne 1) pour que je   comprenne comment on obtient la ligne 2)  ?

v(0) = 0 ---> K = 0    conditions à l'origine t=0 je comprends
3)   v = 31,3.th(0,313.t)  peut-on développer la ligne 2) pour que je   comprenne comment on obtient la ligne 3)  ?


4)  dz/dt = 31,3.th(0,313.t)  peut-on développer la ligne 3) pour que je   comprenne comment on obtient la ligne 4)  ? je comprends qu'après il me faut la primitive de dz/dt pour avoir z(t), je sais que si f(x)=tan(x)  alors  F(x)= -ln(cos(x)) Est-ce cela ?.....

z(t) = -100 + 100.ln(cosh(0,313.t))       en plus c'est un cosinus hyperbolique ???...
touche le sol pour t1, tel que z(t1) = 0 ---> t1 = 5,3 s.    


      De plus, comment calculer avec une calculatrice des argth ou cosh ????? mes calculatrices sont peut-être trop basiques ? (la fx-92 et la graph 35+)
J'aimerais tant maitriser l'intégralité de ce calcul qui je le sens est à ma portée mais pour cela il me faudrait un minimum pédagogique d'info complémentaire, si ça inspire quelqu'un je vous en remercie beaucoup par avance !!!!!!!!!!!!  Cdt  - Actarus-

On peut s'en tirer sans les  th(x)

dv/dt = 9,789 - 0,01.v²

dV/(9,789 - 0,01.v² ) = dt

dV/[(3,129 - 0,1.v).(3,129 + 0,1.v)] = dt
---

1/[(3,129 - 0,1.v).(3,129 + 0,1.v)] = A/(3,129 - 0,1.v) + B/(3,129 + 0,1.v)

1 = A.(3,129 + 0,1.v) + B.(3,129 - 0,1.v)

3,129(A+B) = 1
0,1.(A-B) = 0

A = B = 0,16

1/[(3,129 - 0,1.v).(3,129 + 0,1.v)] = 0,16/(3,129 - 0,1.v) + 0,16/(3,129 + 0,1.v)
---
dV/[(3,129 - 0,1.v).(3,129 + 0,1.v)] = dt
0,16/(3,129 - 0,1.v) dV + 0,16/(3,129 + 0,1.v) dV = dt
Et en intégrant les 2 membres :

-1,6.ln|3,129 - 0,1.v| + 1,6.ln|3,129 + 0,1.v| = t + K

1,6.ln|(3,129 + 0,1.v)/(3,129 - 0,1.v)| = t + K

en t = 0 ---> v = 0 : K = 0

1,6.ln|(3,129 + 0,1.v)/(3,129 - 0,1.v)| = t

(3,129 + 0,1.v)/(3,129 - 0,1.v) = e^(t/1,6)

(3,129 + 0,1.v) = (3,129 - 0,1.v).e^(t/1,6)

0,1.v.(1 + e^(t/1,6)) = 3,129.(e^(t/1,6) - 1)

v = 31,29.(e^(t/1,6) - 1)/(1 + e^(t/1,6))
-----

Qui est équvalent (aux arrondis près) à : v = 31,3.th(0,313.t)

Bonjour JP,

Merci pour cette superbe réponse très détaillée, je l'ai toute comprise sauf concernant A et B : 1 = A.(3,129 + 0,1.v) + B.(3,129 - 0,1.v) cette ligne ok puis en continuant à développer :
    1 = 3.129A + 0.1vA + 3.129B -0.1vB  soit :
    1 = 3.129(A+B) +0.1v(A-B) que j'obtiens et de cette relation je ne vois pas comment on arrive à vos 2 équations à 2 inconnues suivantes, à savoir :
       3,129(A+B) = 1    pourquoi égal à 1 ?
       0,1.(A-B) = 0     pourquoi égal à 0 ? et il manque un v après 0.1 ?...
--------------------------------
sinon j'arrive bien comme vous à v = 31,29.(e^(t/1,6) - 1)/(1 + e^(t/1,6))
donc on a v=dz/dt= 31,29.(e^(t/1,6) - 1)/(1 + e^(t/1,6)) et on veux trouver z=...
    
       dt= ((1 + e^(t/1,6))/(31.29.(e^(t/1,6) - 1)))dz    puis calcul de la primitive
    t+K = (1/31.29)((t+e^(t^2/3.2))/(e^(t^2/3.2)-t))z
    Conditions : t=0  z(0) = -100          K= -100

31.29(t-100)= ((t+e^(t^2/3.2))/(e^(t^2/3.2)-t))z

z= (31.29(t-100))/((t+e^(t^2/3.2))/(e^(t^2/3.2)-t))=(31.29(t-100)).((e^(t^2/3.2)-t))/((t+e^(t^2/3.2))

touche le sol pour t1, tel que z(t1) = 0

donc : (31.29(t-100)).((e^(t^2/3.2)-t))/((t+e^(t^2/3.2))= 0

(31.29(t1-100))=0   t1=3129/31.29=100 sec   ???
OU
((e^(t1^2/3.2)-t1))=0     t1=e^ln t1  ????


je pense que j'ai du me perdre dans les calculs !?!?.....merci pour une aide éventuelle,
Cdt, actarus







      

1 = A.(3,129 + 0,1.v) + B.(3,129 - 0,1.v)

1 = 3.129(A+B) +0.1v(A-B)

Il faut que ce soit vrai pour toutes valeurs de V, ce qui implique que A-B = 0 (et donc v ne joue plus)

Il reste alors : 1 = 3,129(A+B)

Il faut donc résoudre le système :

A-B = 0
1 = 3,129(A+B)

Ce qui donne A = B = 0,16
-----
dz/dt= 31,29.(e^(t/1,6) - 1)/(1 + e^(t/1,6))

dz = 31,29.(e^(t/1,6) - 1)/(1 + e^(t/1,6)) dt

dz = 31,29.e^(t/3,2).(e^(t/3,2) - e^(-t/3,2))/[e^(t/3,2)(e^(-t/3,2) + e^(t/3,2))] dt

dz = 31,29.(e^(t/3,2) - e^(-t/3,2))/[(e^(-t/3,2) + e^(t/3,2))] dt

z = 31,29 + 3,2 * ln|(e^(-t/3,2) + e^(t/3,2))| + K

z = 100 * ln|(e^(-t/3,2) + e^(t/3,2))| + K

z(0) = -100

-100 = 100 * ln(2) + K
K = -100.(1+ln(2)) = -169,3

z(t) = 100 * ln|(e^(-t/3,2) + e^(t/3,2))| - 169,3

Touche le sol à l'instant t1 tel que z = 0

100 * ln|(e^(-t1/3,2) + e^(t1/3,2))| - 169,3 = 0

t1 = 5,3 s
-----
Sauf distraction.  

Bonjour JP,
Merci beaucoup pour cette pédagogie que vous avez bien voulu me dispenser qui m'a permis d'aller à mon rythme pour atteindre la réelle compréhension (mémorisation majoritairement kinesthésique) jusqu'au bout du calcul de la  durée ! j'en ai noirci des pages (!) mais que c'est bon quand on arrive au terme et qu'on est juste ! Je maitrise l'essentiel (merci encore !), il ne reste que 3 petites zones encore floues (qui ne remettent pas en cause l'essentiel, donc...), si vous avez encore un peu de patience avec moi, n'hésitez pas !....à savoir donc :
          ----------------------------------------------------------

100 * ln|(e^(-t1/3,2) + e^(t1/3,2))| - 169,3 = 0   je comprends cette dernière ligne ! ouf..!
et je vois bien que si je remplace les t1 par 5.3 l'équation est vérifiée ! ok !
mais je n'arrive pas à extraire t1 = .....
je fais    ln|(e^(-t1/3,2) + e^(t1/3,2))| = 1.693 = ln(e^1.693)
d'où    (0<) e^(-t1/3,2) + e^(t1/3,2) = e^1.693
puis-je dire cela ?     -(t1/3.2) + (t1/3.2) = 1.693
de toute manière je n'arrive pas à quelque chose du genre t1 = .....= 5.3 s (embêtant intellectuellement parlant, mais bon...)
          ----------------------------------------------------------
Là ce n'est qu'Une petite erreur (en gras) je pense :
dz = 31,29.(e^(t/3,2) - e^(-t/3,2))/[(e^(-t/3,2) + e^(t/3,2))] dt

z = 31,29 + 3,2 * ln|(e^(-t/3,2) + e^(t/3,2))| + K  --->là c'est : 31.29 * 3.2 * ln....

z = 100 * ln|(e^(-t/3,2) + e^(t/3,2))| + K

z(0) = -100

          ----------------------------------------------------------
Une petite précision :
1)   dV/[(3,129 - 0,1.v).(3,129 + 0,1.v)] = dt
---

2)   1/[(3,129 - 0,1.v).(3,129 + 0,1.v)] = A/(3,129 - 0,1.v) + B/(3,129 + 0,1.v)

3)   1 = A.(3,129 + 0,1.v) + B.(3,129 - 0,1.v)

4)   3,129(A+B) = 1
5)   0,1.(A-B) = 0

6)   A = B = 0,16

7)   1/[(3,129 - 0,1.v).(3,129 + 0,1.v)] = 0,16/(3,129 - 0,1.v) + 0,16/(3,129 + 0,1.v)
---
8)   dV/[(3,129 - 0,1.v).(3,129 + 0,1.v)] = dt


Quand vous dites  "Il faut que ce soit vrai pour toutes valeurs de V, ce qui implique que A-B = 0 (et donc v ne joue plus)" pourriez-vous développer votre propos car je ne comprends pas bien, excusez-moi.
Ce que je crois comprendre (je me trompe surement) c'est que les lignes 1) et 8) correspondent à de la physique et que les lignes 2) à 7) correspondent davantage plus à du calcul mathématique permettant de se mettre dans la condition de faire aboutir le calcul final, donc pourquoi v ne joue plus entre la ligne 3) et la 4) (partie mathématique) ? Je m'excuse, j'ai l'impression de ne pas être du niveau de ce type d'exercice mais bon je pose tout de même la question, ça peut peut-être servir à d'autres personnes également...
En tout cas merci pour toutes ces explications qui m'ont fait avancé !!!  Cdt - actarus -

Merci beaucoup JP pour toutes ces explications de grande qualité, tout est désormais limpide !!! Eureka !!! il y a bien longtemps que j'espérais être capable un jour de calculer ce genre de chose et cette merveilleuse invention que sont les forums avec votre intervention me l'a permise, merci encore,  @+ actarus