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Dm sur le satellite Hipparcos
Bonjour,
J'ai un DM pour la rentrée, et je n'ai pas très bien compris l'énoncé(du coup je bloque à la première question...)
Donc voilà l'énoncé et les deux premières questions(j'en suis encore qu'au début ^^') :
le satellite hipparcos lancé le 2 août 1987 était constitué principalement d'un télescope de 30cm de diametre. Celui ci a permis d'établir un catalogue des positions, distances et éclats de plus de 118000 étoiles avec une précision jamais atteinte.
Ce satellite devait être placé sur une orbite géostationnaire à une altitude H=36 000 km
Un problème de mise a feu du moteur d'apogée a laissé hippparcos sur son orbite de transfert, son altitude variant entre h et H. Après utilisation des moteurs de positionnement, l'altitude minimale a été portée à h=500 km. Une programmation du satellite a permis de franchir des problèmes liés a une orbite. Au cours d'une révolution, il passe dans la ceinture de van hallen.
On supposera que cette ceinture est comprise entre deux sphères de rayon r1=8400km et r2=28000 km et de centre celui de la terre. La ceinture de van hallen est constituée de particules chargées piégées dans le champ magnétique terrestre. Ces particules aveuglent les détecteurs d'hipparcos interrompant les mesures des positions des etoiles. Il est cependant utilisable à 65%.
On assimile la terre à une sphère de centre O de rayon R =6400 km et de masse M et le satellite à un point matériel (S,m).On suppose le référentiel géocentrique galiléen. La période de la terre, dans ce référentiel, appelé jour sidéral vaut T=86164 s. On note G la constante de gravitation, sa valeur numérique n'est pas utile dans ce problème.
I Moment cinétique
1)Montrer que le moment cinétique vecteur L en O du satellite est une constante du mouvement.
2) On utilise les coordonnées cylindriques dans le repère (O,ur,uo,uz) (vecteurs)
Avec vecteur uz tel que vecteur L= L*vecteur uz
Montrer que le mouvement est plan et exprimer r²*dθ/dt en fonction de L et m.
Quel est le nom de cette grandeur ?
Donc pour la première question, si j'utilise le théorème du moment cinétique, et que je montre que dL/dT=0 car OM^F=0 (car la seul force est l'attraction de la terre), ça suffit ?
et pour la question c'est bien de l'application du cours? et donc je trouve r²d
/dt = L/m, vous êtes d'accord?
D'accord, merci beaucoup^^
Maintenant je bloque à la question suivante qui est :
3) Montrer que e = utheta - (L/(GMm))*v est une constante du mouvement
(v étant la vitesse du satellite)
je souligne les vecteurs
Pouvez vous m'aider ?
J'ai essayé de dériver e mais je n'arrive pas au bon résultat...
Ah oui, bien vu! Merci beaucoup^^
Après j'ai essayé de faire la suite mais je bloque encore à une question...
Voilà le reste de l'énoncé:
2) On choisit l'origine de l'angle polaire de manière à avoir θ= (e , utheta)
montrer que l'équation de la trajectoire peut se mettre sous la forme :
r(θ)= p/(1-ecos θ) où e =norme de vecteur e
III trajectoire d'Hipparcos
1) Exprimer et calculer e et p en fonction de h , H et R .
2) Exprimer et calculer le demi-grand axe a de la trajectoire à l'aide de R, h et H.
3) énoncer sans démonstration la troisième loi de Kepler
4) exprimer la période Th de révolution d'Hipparcos en fonction de T, R , H et h. Calculer Th en heures
IV Ceinture de Van hallen
1) déterminer les valeurs numériques des angles θ1 et θ2 d'entrée et sortie de la ceinture de Van Hallen du satellite.On donnera les valeurs comprises entre 0° et 180°.
2) Représenter sur un schéma clair la trajectoire du satellite et l'aire balayée A par vecteur OS lors d'un passage dans la ceinture de Van Hallen. Pour la question suivante on prendra A=200*10^6 km²
3)Déterminer le rapport Q=to/Th en fonction de A et Ae ( aire de l'ellipse) où to est la durée totale d'inactivité d'Hipparcos sur une période .Commenter. On donne l'aire de l'ellipse Ae = pi*p²/ ((1-e²)^3/2)
Voilà, donc j'ai essayé d'avancer mais je bloque à la question III 4), je vois pas comment exprimer Th en fonction de T, en fait, en utilisant la 3ème loi de Kepler je peux exprimer Th en fonction de G, M, h, H, et R mais comment injecter T dans l'expression de Th?
J'avoue ne pas voir le lien avec la période de la Terre. La loi de Kepler à laquelle il est fait référence dans l'énoncé nous donne normalement la période sidérale du satellite et n'est donc pas associée à un point d'observation lié à la Terre... De même, l'équation de la trajectoire elliptique est établie dans un repère certes centré sur la Terre mais qui ne suit pas sa rotation... Il y a donc peut-être une subtilité qui m'échappe. En attendant d'obtenir une réponse, tu peux peut-être continuer les calculs en utilisant directement la valeur obtenue à l'aide de la 3ème loi de Kepler. La question 3) te permettra de juger de la pertinence des calculs.
Et le satellite ne peut pas être en orbite géostationnaire si il décrit une ellipse... Je suis comme vous, je ne vois toujours pas ce que c'est...
Sinon, j'ai essayé de faire la question suivante, et est ce que ça vous paraît bon avec 1=55° et 2=143° ?
Je vérifierai tes calculs dans la soirée si j'ai le temps. Sinon, le satellite n'est pas géostationnaire : comme l'explique l'énoncé, suite à un incident durant le lancement, celui-ci s'est retrouvé sur une trajectoire elliptique. L'intérêt est donc d'estimer les conséquences de cet incident sur son utilisation.
A suivre...
D'accord^^
Du coup j'ai pu faire tout mon DM sauf la dernière question où il me faut l'expression de Th, mais bon, je demanderai à mon prof!
N'hésite pas à revenir donner la réponse de ton prof pour la question 4. Ca pourra servir à d'autres.
Sinon, pour les angles, je ne trouve pas ça (mais calculs faits à la va-vite donc je ne m'y fierais pas trop). Mais a priori je ne pense pas que les angles cherchés soient situés de part et d'autre de .
Qu'as-tu trouvé comme expressions de et
?
En fait, justement, je recopiais mon DM et pour exprimer p et e j'ai utilisé directement les formules liées aux ellipses, ai-je le droit?
Je trouve e=1-(R+h)/(R+(h+H)/2) et p=(R+h)(1+e), ca vous parait bon ?
Pour avoir p j'ai utiliser la formule liée à l'ellipse suivante: OP=p/(1+e) où p et le périhélie de l'ellipse, donc ici, OP=R+h
Ce n'est pas bon?
Si, en fait ça m'a l'air tout à fait correct. Je ne sais plus du tout ce qui a retenu mon attention tout à l'heure...
En tout cas je ne vois pas de problème à utiliser ces formules. Mais tu pouvais aussi simplement partir de l'équation qu'on te donne et remarquer que puisque , on a:
Puis par comparaison avec les altitudes maximale et minimale utiliser au choix:
ou
Ah oui, c'est vrai qu'on aurait pu faire ça de cette façon!
Pour revenir au problème de départ, j'ai demandé à une amie comment exprimer Th en fontion de T, et en fait, il fallait se concentrer sur l'énoncé où il est écrit que :
"Ce satellite devait être placé sur une orbite géostationnaire à une altitude H=36 000 km" donc en appliquant la troisième loi de Kepler on a T²/(R+H)3=4
²/GM et donc, en injectant ça dans l'expression de Th on trouve Th²/T²=(a/(H+R))3 avec a le demi grand axe de l'ellipse décrite par le satellite donc a=R+(h+H)/2
Et donc on a bien Th en fonction de T, h, R et H.
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