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Distance et rayon de courbure

Posté par
Rimi 02-01-17 à 00:10

Bonjour, j'ai besoin de votre aide svp
Un mobile décrit une trajectoire décrite par r=r0 $\exp \theta (t)$ avec =
d/dt et (0)=0
Calculer la distance parcourue entre t=0 et t=4π\
Et Déterminer le rayon de la courbure, merci à l'avance

Posté par re : Distance et rayon de courbure 02-01-17 à 03:07

Hello

Si $\vec{OM}= r.\vec{e}_r$

Alors
$\frac{\vec{OM}}{dt} = \frac{dr}{dt}.\vec{e}_r + r\frac{d\theta}{dt}.\vec{e}_{\theta}$
et
$\frac{ds}{dt} = \sqrt{(\frac{dr}{dt})^2 + (r\frac{d\theta}{dt})^2}$

Il n'y a plus qu'à intégrer entre 0 et t

Et en coordonnées polaires le rayon de courbure s'exprime comme (copier coller wikipedia):

$\rho ={\frac{(r'^{2}+r^{2})^{{3/2}}}{2r'^{2}+r^{2}-rr''}}$

Posté par re : Distance et rayon de courbure 03-01-17 à 17:44

Merci beaucoup dirac, mais vous voulez exprimer la distance avec S??!!
Et pour le rayon de courbure est-ce que on peut arriver à même résultat si on utilise || × a||=(v^3)/?!

Posté par re : Distance et rayon de courbure 03-01-17 à 18:48

Hello

Citation :
mais vous voulez exprimer la distance avec S??!!

Je veux oui

, s est l'abscisse curviligne et exprime de manière algébrique (avec un signe) la distance parcourue le long d'un arc

$r = r_0.e^{\theta}$

Donc

$\dot{r} = \omega.r$

Soit

$\frac{ds}{dt} = \sqrt{r^2\omega^2 + r^2\omega^2}= \sqrt{2}r\omega$

Donc

$s(t) = \sqrt{2}\omega r_0(e^{wt}-1)$

Citation :
on peut arriver à même résultat si on utilise || × a||=(v^3)/?!

Je ne comprends pas trop l'expression en particulier le "x"

Ici   $r = r' = r''  (= r_0e^{\theta })$

Donc

$\rho ={\frac{(r'^{2}+r^{2})^{{3/2}}}{2r'^{2}+r^{2}-rr''}} = \sqrt{2}.r$

Une solution "élégante" pour déterminer le rayon de courbure serait sans doute d'écrire:

$\rho = \frac{ds}{d\theta} =\frac{ds}{dt}.\frac{dt}{d\theta}$

Donc encore plus rapidement que ci dessus

$\rho =   \sqrt{2}.r\omega . \frac{1}{\omega} = \sqrt{2}.r$

Posté par re : Distance et rayon de courbure 03-01-17 à 19:05

Hhh à d'accord dirac merci beaucoup pour l'explication

Posté par re : Distance et rayon de courbure 03-01-17 à 19:36

Pas de souci, dans l'intervalle, j'ai un peu réfléchi à l'expression

|| × a||=(v^3)/

que tu as habilement sorti de ton chapeau

en effet, tu n'avais pas tort (après décryptage)

- vitesse: $\vec{v} = \frac{ds}{dt}.\vec{T}$

- accélération: $\vec{a} = \frac{d^2s}{dt^2}.\vec{T} + \frac{1}{\rho}(\frac{ds}{dt})^2.\vec{T}$

Et donc

$\mid\mid\vec{v} \wedge \vec{a} \mid\mid= \frac{1}{\rho}. (\frac{ds}{dt})^3$

Cela passe par le calcul de l'accélération et et d'un produit vectoriel (basiques il est vrai). Donc "économiquement" moins rentable il me semble dans notre problème. Cependant, un grand merci à toi, d'avoir exhibé cette égalité que je n'avais pas en tête (mais désormais si)

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