Niveau licence

Distance angulaire / Etoile double

Posté par
wdbg35 13-04-17 à 00:02

Bonjour,

je poste ici un exercice d'annales d'optique physique. Je pense avoir bon à 4 questions sauf la dernière. Voici l'énoncé :

On réalise l'expérience des trous de Young, distants de a, en lumière monochromatique. On observe les interférences sur un écran placé dans le plan focal image d'une lentille convergente de distance focale f'. La source lumineuse qui éclaire les trous de Young est une étoile $E_{1}$ située à l'infini dans la direction de l'axe optique, d'intensité lumineuse $I_{0}$ . La longueur d'onde de la lumière émise est $\lambda$

1) Faire un schéma du montage et représenter les rayons lumineux qui interfèrent en un point M d'abscisse x de l'écran.

2) On utilise la lentille dans les conditions de Gauss. Pourquoi ?

3) Calculer la différence de marche en M, puis donner l'intensité lumineuse $I_{1}(x)$

4) Une étoile $E_{2}$ est à l'infini dans la direction $\alpha$ par rapport à l'axe optique. L'angle $\alpha$ est très petit. Calculer la différence de marche en M et calculer $I_{2}(x)$ .

5) On étudie l'étoile double $\delta Orionis$ dont les deux composantes $E_{1} et E_{2}$ ont même éclat et éclairent le dispositif. On augmente progressivement la distance séparant les trous d'Young. Montrer simplement que l'intensité devient uniforme pour une valeur particulière $a_{1}$ de a.
On prend $\lambda = 550 nm$ et $a_{1}= 28,4 cm$ . Calculer $\alpha$ en radians.

1) facile à faire

2) conditions de Gauss : rayons peu inclinés par rapport à l'axe optique. Les rayons vont converger sur le même point M.

3) $\delta = \frac{ax}{f'}$
$I_{1}(x) = I_{0}[1+cos(\frac{2\pi ax}{\lambda f'})]$

4) $\delta = \frac{ax}{f'} + a\alpha$
$I_{2}(x) = I_{0}[1+cos(\frac{2\pi }{\lambda }(\frac{ax}{f'}+a\alpha ))]$

5) C'est là ou je bloque. I uniforme ca veut dire que le contraste vaut 0 donc Imin = Imax
mais j'arrive pas à me débarrasser des cosinus. Normalement je dois trouver I = 2 $I_{0}$ et donc avoir les cos=0 mais j'arrive pas à m'en sortir.
J'ai essayé en faisant cos(a)+cos(b) = 2cos((a+b/2))cos((a-b)/2)).
Sachant qu'on nous demande ensuite de calculer l'angle en fonction de a et lambda. Ca veut dire qu'on doit se débarrasser de x et f' mais je vois pas comment.

Merci pour votre aide

Posté par re : Distance angulaire / Etoile double 13-04-17 à 10:24

Bonjour
Pour la dernière question, les choses sont qualitativement très simples... A ton avis, que se passe-t-il lorsque le système de franges créé par E2 est décalé du système de franges créé par E1 d'un demi interfrange ou, plus généralement de (i/2+k.i) où k est un entier relatif ?
Quantitativement, dans la mesure où les deux étoiles sont des sources incohérentes, les intensités (ou plutôt les éclairements) s'ajoutent : la méthode que tu suggères est correcte.

Posté par re : Distance angulaire / Etoile double 20-04-17 à 21:52

Bonjour,

j'y ai réfléchis depuis quelques jours. Si je fais la somme $I_{1}(x)+I_{2}(x)$ je trouve $I(x)= 2I_{0}[1+cos(\frac{\pi }{\lambda }(\frac{2ax}{f'}+a\alpha ))cos(-\frac{\pi }{\lambda }a\alpha )]$ . J'ai utilisé la relation cos(a)+cos(b).

Ensuite je dis contraste nul, Imax=Imin. Le produit des deux cos vaut 1. La deuxième équation, le produit des cos vaut -1. Et je fais (1)+(2). Et je tombe sur $a=\frac{\lambda }{\alpha }$ . Est-ce correct ? En faisant l'application numérique avec lambda=550nm et a=28,4cm je trouve 1,93x10^-6 radians.

Posté par re : Distance angulaire / Etoile double 20-04-17 à 22:24

Bonsoir
Il suffit ici de choisir :

$\cos\left(\frac{\pi.\alpha}{\lambda}\cdot a\right)=0$
Ce qui conduit très simplement à I(x)=2.Io ; l'intensité ne dépend plus de x ; l'écran est uniformément éclairé ; le contraste est nul ; cela donne :

$\frac{\pi.\alpha}{\lambda}\cdot a=\frac{\pi}{2}+k.\pi\quad avec\quad k\in\mathbb{Z}$

$a=\frac{\lambda}{2\alpha}+k\cdot\frac{\lambda}{\alpha}$
Dans ce problème, la valeur à retenir est la valeur correspondant à k=0. Pour vérifier la cohérence de ce résultat, je reprends les expressions des deux intensités que tu as postées dans ton premier message :

$I_{1}(x)=I_{0}[1+cos(\frac{2\pi ax}{\lambda f'})]$

$I_{2}(x)=I_{0}[1+cos(\frac{2\pi}{\lambda}(\frac{ax}{f'}+a\alpha))]=I_{0}[1+cos(\frac{2\pi}{\lambda}(\frac{ax}{f'}+\frac{\lambda}{2}))]$

$I_{2}(x)=I_{0}\left[1+cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{ax}{f'}+\pi\right)\right]=I_{0}\left[1-cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{ax}{f'}\right)\right]$
Les milieux des franges brillantes de l'étoile 1 ont des abscisses vérifiant :

$cos(\frac{2\pi ax}{\lambda f'})=1\quad;\quad\frac{2\pi ax}{\lambda f'}=2k.\pi\quad;\quad x=k\cdot\frac{\lambda f'}{a}=k.i$
Les milieux des franges brillantes de l'étoile 2 ont des abscisses vérifiant :

$cos(\frac{2\pi ax}{\lambda f'})=-1\quad;\quad\frac{2\pi ax}{\lambda f'}=2k.\pi+\pi\quad;\quad x=k\cdot\frac{\lambda f'}{a}+\frac{\lambda f'}{2a}=k.i+\frac{i}{2}$
On retrouve mes remarques du 13-04-17 à 10:24