Bonsoir,
Une méthode possible : détermine l'expression du vecteur champ E en fonction de z.
Tu montreras ensuite que les actions sur le dipôle correspondent à un moment nul et à une résultante qui s'exprime simplement en fonction du moment dipolaire et de la dérivée de Ez par rapport à z (dérivée calculée en z = 0)

Les considérations sur les symétries de la source du champ (le cerceau chargé)  vont te permettre de montrer qu'en tout point M de l'axe (Oz) de cote z, le vecteur champ  créé par le cerceau chargé est colinéaire au vecteur unitaire Uz :


Il faudra ensuite, en intégrant l'expression générale du vecteur champ élémentaire, établir l'expression de E_z=f(z)

Ensuite, tu pourras montrer que l'action du cerceau chargé sur le dipôle se réduit à une force qui dépend du moment du dipôle et de :

d'accord avec les symétries j'ai bien les mêmes résultats que toi
je fais le reste merci pour les indices

OK !
Petit indice supplémentaire : par définition d'un dipôle, la distance entre les deux charges du dipôle est très faible devant le rayon R du cerceau ; un développement limité de f(z) au voisinage de z = 0 va s'imposer... Bon courage !