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Diffraction à travers une fente infiniment longue
Bonsoir,
Je travaille sur un exercice assez classique portant sur la diffraction, mais je bloque complètement passé un certain point.
Voilà la mise en situation :
On considère une fente rectangulaire parallèle à la direction (Oy), centrée en O, de largeur 2L et infiniment longue, de fonction de transparence pupillaire t(x). Elle est éclairée sous incidence
normale par un faisceau de lumière monochromatique de longueur d'onde λ, issu d'une fente fine F parallèle à la fente étudiée et placée au foyer objet d'une lentille L1. On observe alors les phénomènes de diffraction à l'infini sur un écran (E) placé dans le plan focal d'une deuxième lentille L2 de distance focale image f.
Les questions sur lesquelles je bloque sont :
1) La figure de diffraction observée sur l'écran (forme, intensité, position) dépend-elle de la position de la fente le long de l'axe (Ox) ? Justifiez par un calcul simple.
On considère que la fonction de transmission de la fente est donnée par :
t(x) = 0 pour|x| > L,
t(x) = sin²(πxL) pour|x| < L
2) Montrez que l'intensité diffractée dans le plan de l'écran est
avec u et v respectivement exprimés en termes de x' et y'.
Mes ébauches de réponses :
1) Je ne vois pas bien par où commencer, je suis paradoxalement perturbé par le "calcul simple" et n'ai aucun élément de réponse à proposer...
2) Ici, j'ai essayé de résoudre la question en considérant la fente infiniment longue, de largeur 2L et centrée en 0 :
f =
Donc TF(f) =
Et I = |I0|² =
Le résultat est proche de celui demandé, mais le dénominateur est manquant. Je me rends bien compte que je n'ai pas utilisé la fonction de transmission pupillaire fournie dans l'énoncé (t(x)), mais je ne sais absolument pas comment m'y prendre pour trouver la bonne réponse.
Je suis un peu confus à cause de l'expression de t(x) (en termes de sin²), je n'ai absolument pas l'habitude de traiter le problème de cette manière (on ne nous donne jamais cette fonction d'habitude). Qu'est-ce que cela change ? Faut-il prendre la fonction porte en compte, t(x) ou bien les deux ?
En vous remerciant par avance pour les éclaircissements que vous pourrez m'apporter, je vous souhaite une bonne soirée.
Bonsoir
Pourrais tu fournir le schéma qui accompagne l'énoncé ? Sinon : problème au niveau des notations et des orientations.
La méthode de démonstration consiste à appliquer pas à pas le principe de Huygens et Fresnel comme dans la démonstration classique mais en considérant que l'amplitude émise par la fente élémentaire de largeur de à l'abscisse x est proportionnelle à t(x).dx
Sous toutes réserves, sans la figure... Essaie de privilégier la réflexion physique par rapport aux mathématiques...
Pour la première question, je ne vois pas de calcul à faire... Il suffit de réfléchir...
Translater la fente suivant (Ox) va modifier la position de la tache de diffraction sur l'écran mais pas ces autres caractéristiques. Si C désigne le centre de la fente (éventuellement non confondu avec O) et si O2 désigne le centre optique de L2, Le centre C2 de la figure de diffraction ne sera pas en F' mai tel que les point C1, O2 et C2 soient alignés.
Translater la fente suivant x, sous réserve qu'elle reste à l'intérieur du faisceau incident de lumière parallèle, laisse la fente dans le même plan d'onde, donc aucune influence sur le signal lumineux dans le plan de la fente.
Toujours sous réserve que la translation soit faible pour que L2 travaille dans l'approximation de Gauss, permet toujours d'étudier la diffraction à l'infini puisque le plan focal image de L2 se confond avec le plan d'observation.
Pour la question 2 : reviens à mon premier message. Tu peux t'inspirer de ce corrigé :
Un immense merci pour votre aide précieuse, j'ai enfin retrouvé l'expression demandée !
Pour m'assurer de ma bonne compréhension, j'aurais deux petites questions :
- L'utilisation de la fonction "porte" pour décrire la fente est-elle conditionnée aux seules pupilles ayant une fonction de transmission égale à 1 ?
Car en cours ou en TD, nous utilisons les portes en permanence, mais nous avons toujours t(x) = 1. Je n'ai jamais manipulé des fonctions de transmission plus complexes.
- Dans le cas d'une pupille rectangulaire non infinie ayant la même fonction de transmission que celle étudiée (donc différente de 1), aurait-il fallu réaliser des intégrations selon les deux axes ?
Je vous remercie d'avance pour les derniers éclaircissements que vous pourrez m'apporter !
Oui à ta première question.
Oui à ta deuxième question ; dans le cas le plus général, il faudrait connaître t en fonction de x et de y.
As-tu bien compris pourquoi cet exercice est en général intitulé : "apodisation" d'une figure de diffraction" ?
Merci pour vos réponses !
Je n'ai malheureusement pas bien saisi pourquoi on parle d'apodisation... Cette notion ne fait l'objet que de quelques lignes d'explication dans le cours.
Compare les taches de diffraction secondaires dans les deux cas :
t(x)=1
t(x) = expression de l'exercice...
Sans recopier tous les calculs, voici un bref aperçu de ma démarche :
J'ai déterminé la position des minima d'intensité dans les deux cas et calculé celle des maxima secondaires (en considérant qu'ils étaient situés au milieu de deux minima consécutifs). Certaines valeurs sont à proscrire à cause du dénominateur.
Je constate déjà un étalement de la position des maxima secondaires dans le cas de l'expression de l'exercice par rapport à t(x)=1.
Une fois cela fait, j'ai calculé l'intensité pour les premiers maxima secondaires de chacun des cas.
Ici, leur intensité est diminuée dans le cas de l'expression de l'exercice par rapport à t(x)=1.
Cela correspond à la définition de l'apodisation donnée par le cours. Si je comprends bien, ce phénomène intervient à chaque fois que la fonction de transmission ne vaut pas 1 ?
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