Bonjour
Il ne s'agit pas de différentielle seconde mais de dérivée seconde !
Tu peux poser :



et déterminer f'(P) et f”(P)

Soit PV^a = k.
Est-ce que votre K correspond à k ?
f'(P)= -1/a KP^(-1-a)/a
f''(P)= (1+a)/a² KP^(-1-2a)/a

Et pour être sur, dV/dP = -(df/dP) / (df/dV) et d²V/dP² -(d²f/dP²)/(d²f/dV²) ?

Oui à ton message de 16h23, non à ton message de 16h42. Je me demande si tu ne mélanges pas un peu dérivées et différentielles. On obtient tout simplement :



Sans connaître le contexte de cette étude, difficile d'en dire plus.

Il s'agit d'un exemple tiré du cours sur la dérivation de fonctions implicites d'outils mathématiques pour la physique. Cependant, la dérivée seconde n'y est pas abordé (uniquement dans les exemples) et j'aimerai bien connaitre "sa méthode".
Pour la dérivée première pas de soucis mais pour la dérivée seconde je bloque, il marque (directement après la dérivée première:
d²V/dP²= -1/a * [(P(dV/dP)-V)/P²]. Je ne comprends pas pourquoi/comment il marque ça. Pour trouver le résultat final grâce à ça pas de soucis.

En remplaçant K par  
on obtient :


expression que l'on peut dériver par rapport à P pour avoir la dérivée seconde. A mon avis, si on cherche la dérivée seconde uniquement en fonction de a, P et V, il est plus simple d'utiliser la méthode que je t'ai expliquée puis de remplacer K par  ...

D'accord, je viens de comprendre vos 2 méthodes. C'est vrai que dans un cas général c'est mieux de mettre V en fonction du reste mais pour ce cas sa technique me paraît plus simple.
Merci bien

Pour aboutir directement à la dérivée première lorsque la dérivée seconde n'est pas demandée, il existe une méthode très rapide, dite de "la différentiation logarithmique".
ln(PV^a)=ln(P) + a.ln(V)=ln(K)
Tu prends la différentielle de chaque membre et tu obtiens directement le résultat. Elle ne s'applique pas à la dérivée seconde.

C'est-à-dire ?
V=(k/P)^1/a=e^(1/a)ln(k/P) ?

Bien plus simplement : tu différenties l'expression que je t'ai fournie dans le message précédent :



d'où :

Étourderie dans la formule précédente que je rectifie :