Niveau école ingénieur

Diélectrique - méthodes de calcul du champ dépolarisant

Posté par
RoNoR 09-11-20 à 10:07

Bonjour ! J'ai une question au sujet d'un point de méthode de mon cours que j'ai du mal à comprendre. Il s'agit du calcul du champ dépolarisant d'un matériaux diélectrique. Je resitue le problème :

On a un matériau diélectrique quelconque soumis à un champ électrique extérieur $\vec{E_{ext}}$ .
Le matériau est polarisé sous l'effet de ce champ. cette polarisation est décrite par le vecteur polarisation ou densité volumique de moments dipolaires (j'ai les 2 notations, je ne sais même pas laquelle est la bonne. ) : $\vec{P}$ .
On a enfin un champ électrique de polarisation (dit aussi dépolarisant) issu dû à la polarisation $\vec{P}$ : $\vec{E_{P}}$ .

Mon problème concerne le calcul du champ $\vec{E_{P}}$ . On a 2 méthodes, et les  2 me posent problèmes. La première se base sur le calcul du potentiel de polarisation :
$dV_{P} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec{P(A)} \cdot \vec{AM}}{||\vec{AM}||^3}d\tau$ le potentiel élémentaire créé au point $M$ par l'élément de volume $d\tau$ centré en $A$ .
On est dans le pas où la polarisation est uniforme et on intègre :
$V_{P} = \vec{P}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \int \int \rho ^{*}  \frac{\vec(u)}{r^2} d\tau$
Premier point où je bloque : l'introduction de $\rho ^{*}$ qui est une charge volumique fictive ( $\rho^{*} = 1C.m^{-3}$ )ayant pour but de faire apparaître un champ électrique fictif $\vec{E^{*}}$ lui aussi fictif. Je ne comprend pas pourquoi c'est juste d'introduire cette charge volumique fictive. Mathématiquement on multiplie par 1, donc pas de problème, mais physiquement ça me semble faux de faire ça car ça n'est plus homogène, $\rho^{*}$ n'est pas un simple coefficient. Pouvez vous m'expliquer s'il vous plaît ? Peut-être que ma prise de note est incomplète ?

La suite de la méthode me pose aussi problème. Après introduction de cette charge volumique, un note $\vec{E^{*}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \int \int \rho ^{*}  \frac{\vec(u)}{r^2} d\tau$ ce qui permet au final d'écrire : $V_{P} = \vec{P}\cdot\vec{E^{*}}$ , et enfin j'ai noté " $\vec{E^*}$ se calcul facilement avec le théorème de Gauss. Mais je ne vois pas comment calculer ça avec le théorème de Gauss. En fin de compte, cette première méthode n'est absolument pas comprise.

J'ai une deuxième méthode dans mon cours, plus courte. Je la comprend mieux, je crois, mais pas totalement, donc j'aimerai être sûr. Alors on est dans les mêmes conditions que plus haut,  et la polarisation fait apparaître une densité surfacique (si polarisation uniforme) ou volumique (sinon) de charge, données par :
$\rho_p = \vec{\nabla}\cdot\vec{P}$ (densité volumique);
$\sigma_p = \vec{P}\cdot\vec{n}$ avec $\vec{n}$ vecteur normal à la surface, dirigéde l'intérieur vers l'extérieur. (densité surfacique).
Pouvez-vous confirmer, si j'ai bien compris, que pour utiliser cette méthode, j'applique bêtement le théorème de Gauss en calculant la charge intérieur de ma surface de Gauss à partir de ces densité surfaciques et/ou volumiques ?

Ce sont les 2 points que je ne comprends pas de mon cours, le reste ne pose pas de problème, pour l'instant. J'espère que vous pourrez m'éclairer ? En attendant je vais fouiller un peu plus dans la littérature.

Désolé s'il y a des erreurs dans ce que j'ai tapé en TeX, j'ai relu sans en trouver, mais j'ai pas l'habitude de l'utiliser tous les jours mais j'ai fait ce que je pouvais. ^^"

Merci d'avance.

Posté par re : Diélectrique - méthodes de calcul du champ dépolarisant 09-11-20 à 10:12

Bonjour
Tu n'as pas eu de cours sur ce sujet ?

Posté par re : Diélectrique - méthodes de calcul du champ dépolarisant 09-11-20 à 10:41

Tu trouveras une démonstration ici, paragraphe 1.3 :
Tout repose sur l'expression de la divergence du produit d'une fonction scalaire par une fonction vectorielle :

$\frac{\overrightarrow{AM}}{\Vert\overrightarrow{AM}\Vert^{3}}=\overrightarrow{grad}\left(\frac{1}{\Vert\overrightarrow{AM}\Vert}\right)$

Attention au piège : on introduit en général un signe (-) dans l'expression précédente car les variables de dérivation sont en général les coordonnées de M (par exemple : voir paragraphe 6 de ce document : ) ; Exceptionnellement ici, les variables de dérivations sont les coordonnées de A. Deuxième formule du paragraphe 20 adaptée à la situation ici :
$\\ \overrightarrow{P_{\left(A\right)}\cdot}\frac{\overrightarrow{AM}}{\Vert\overrightarrow{AM}\Vert^{3}}=\overrightarrow{P_{\left(A\right)}\cdot}\overrightarrow{grad}\left(\frac{1}{\Vert\overrightarrow{AM}\Vert}\right)=-\frac{div\left(\overrightarrow{P_{\left(A\right)}}\right)}{\Vert\overrightarrow{AM}\Vert}+div\left(\frac{\overrightarrow{P_{\left(A\right)}}}{\Vert\overrightarrow{AM}\Vert}\right)$

On reporte dans l'expression du potentiel élémentaire puis on intègre par rapport au volume du diélectrique. Reste à appliquer le théorème d'Ostrogradski pour transformer la seconde intégrale en une intégrale de surface sur la surface fermée délimitant le volume de diélectrique.

Posté par re : Diélectrique - méthodes de calcul du champ dépolarisant 09-11-20 à 15:35

J'ai bien eu cours, c'est de là que viennent les expressions que j'ai écrites, mais je suis sûr et certain (car j'en ai parlé avec mes camarades) qu'on a pas utilisé ce que tu me proposes ici. On a vraiment ce $\rho^*$ qui est ajouté comme ça parce que. Ce qui vient donc balayer l'homogénéité.
Quand j'utilise ta méthode, avec l'hypothèse de $\vec{P}$ homogène, et après l'utilisation du théorème d'Ostrogradski, j'arrive à l'égalité :
$V_p(M) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\int\frac{\vec{P}\cdot\vec{dS}}{r}d\tau$ (Je ne sais pas faire d'intégrale sur contour fermé en TeX)
Mais ça, je ne sais pas l'intégrer à cause du $\frac{1}{r}$ dans le cas d'un pavé par exemple. Je ne sais pas où prendre l'origine de r (donc le point $A$ sur lequel est centré le volume). Je doit mettre l'origine au centre de l'objet et utiliser les angles en 3D ?

Les liens que tu me fournis me font bien comprendre d'où viennent $\rho_p$ et $\sigma_p$ de la seconde méthode et qu'ils s'utilisent bien comme je le pensais.

J'ai fini par mettre la main sur exercice de cours. On y calcul le champ de polarisation interne pour une sphère. On met directement ce $\rho^*$ dans la triple intégrale, puis on écrit $\vec{E^*}$ directement. On a ensuite appliqué le théorème de Gauss avec une charge intérieure calculée sur $\rho^*$ . J'arrive à le refaire, mais en étant rigoureux sur les mathématiques, Le résultat est $\vec{E_p} = \frac{\rho^*\vec{P}}{3\epsilon_0}$ ce qui est donc physiquement faux : ce n'est pas homogène à cause de ce $\rho^*$ . D'ailleurs, plus loin dans mon cours, j'ai des expressions de champ dépolarisants internes à connaître pour certaines géométries, dont la sphère, et le $\rho^*$ n'y est pas !
Je veux bien apprendre cette méthode et l'appliquer parce qu'on m'a dit de le faire, mais ça ne va pas aller longtemps comme ça.

Posté par re : Diélectrique - méthodes de calcul du champ dépolarisant 09-11-20 à 17:36

Bonjour
Le vecteur densité volumique de polarisation P possède une norme homogène à une densité surfacique de charge. Les relations faisant intervenir _p et _p sont correctes et homogènes. En revanche, je ne vois pas trop ce que représente * et tes formules utilisant cette grandeurs ne sont pas homogènes comme tu l'as très bien remarqué.
Concernant l'exercice classique du champ créé au centre d'une boule uniformément polarisée, * n'intervient pas ; voir correction de l'exercice ici, par exemple :

Je te conseille de raisonner sur _p et _p.

Posté par re : Diélectrique - méthodes de calcul du champ dépolarisant 09-11-20 à 21:58

J'ai tilté pendant le dîner. En fait il y a eu un flagrant manque de rigueur. Peut-être de ma part ? ça m'étonnerai me connaissant, honnêtement je ne sais plus. ^^"
Dans le cours, on se permet de faire cela car $\rho^*$ est une constante égale à 1, et une fois au résultat final, on l'ignore pour cette raison, donc on évacue le problème d'homogénéité. C'est grossier, ça ne me plaît pas. Le problème est résolu de la sorte :

$V_p = \vec{P}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\int\int\int\frac{\vec{u}}{r^2}d\tau$
$\Leftrightarrow V_p = \frac{1}{\color{red}\rho^*}\vec{P}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\int\int\int\frac{\color{red}\rho^*\color{black}\vec{u}}{r^2}d\tau$

Ici, les $\rho^*$ se simplifient (en rouge) donc l'homogénéité est respectée. Le facteur $\rho^*$ qui apparaît dans l'expression du champ dépolarisant dont je parlais dans mon précédent poste se simplifie alors grâce au $\frac{1}{\rho^*}$ donc plus de problème à ce niveau là.

On introduit ce $\rho^*$ car alors $\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\int\int\int\frac{\color{red}\rho^*\color{black}\vec{u}}{r^2}d\tau$ est bien homogène à un champ électrique. On peut noter cette triple intégrale $\vec{E^*}$ (homogénéité) puis écrire $V_p = \vec{P}\cdot\vec{E^*}$ .

Notre enseignant avait bien insisté sur le fait que $\rho^*$ et $\vec{E^*}$ étaient des outils mathématiques sans réalité physique, donc aucun intérêt de rechercher ce qu'ils représentent. OK, c'est clair ça. Mais je ne comprends pas pourquoi $\vec{E^*}$ peut "facilement être calculé grâce au théorème de Gauss", je ne comprends pas pourquoi on peut le faire et avoir le résultat juste. Si quelqu'un qui passe par là a la réponse, je la veux bien.

Je compte bien utiliser $\rho_p$ et $\sigma_p$ comme tu le suggères, car je vois clairement d'où ça vient. Mais je veux quand même comprendre la méthode avec le champ fictif. Si notre enseignant nous à donné cette méthode, c'est qu'elle est juste.

Bon, au moins j'ai compris comment ça marche, et j'ai pu faire le TD tout seul, donc je suppose que je suis au point. merci