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Diagramme de Bode
Salut à tout le monde, je viens juste de m'inscrire et j'ai déjà une question.
Voilà, je dois représenter la fonction suivante dans un diagramme de Bode:
H(s)=2/[s(s+1)2]
En classe, nous utilisons la méthode suivante avec le professeur, on décompose H(s) en trois fonctions soit H1(s)=2,H2(s)=1/s H3(s)= 1/(s+1)2 (dans ce cas précis).
Pour H1(s) le gain en dB est 20*log2 = 6dB et la phase est égale à 0°
Pour H2(s) comme c'est un intégrateur, on a une pente de -20dB/décade et une phase de -90°
Pour H(s) la pulsation de coupure se trouve en wc=1, et aprés on a une pente de -40dB/décade et une phase de -180°
Après on représente les trois fonctions et on en fait la somme pour avoir H(s).
Mais ce que je ne comprend pas, ce qu'on dit que la constante 2 augmente tout de 6 dB et que par consequent, il faut descendre l'axe des abcisses de 6dB donc le ramener en -6dB.
Quelqu'un peut-il m'aider à comprendre cette notion que j'ai passé déjà plusieurs jours à essayer d'appliquer et si possible un petit schéma m'aiderait grandement.
Toute aide sera la bienvenue,
Merci
Mais ce que je ne comprend pas, ce qu'on dit que la constante 2 augmente tout de 6 dB et que par consequent, il faut descendre l'axe des abcisses de 6dB donc le ramener en -6dB.
il n'y a rien de très compliqué là-dedans en fait, c'est juste une "astuce". Si tu poses ton crayon sur la ligne des abscisses(généralement au milieu de la feuille en vertical), tu te trouves à 0dB. Maintenant si tu décides de décaler la ligne des abscisses de 6dB vers le bas sans bouger ton crayon, alors ton crayon se retrouve à +6dB. Et tu peux commencer à tracer.
bref je ne sais pas si tu as compris mais il s'agit juste de décaler la ligne des abscisses vers le bas pour se faire de la place pour desssiner ta fonction
Salut efpe, merci pour ta reponse. Mais j'aurais encore quelqes questions à poser.
Selon ce que j'ai compris, je dois channger la graduation de l'axe des ordonnées (en dB):
-Mon ancienne graduation étais de -40 ,-35,-30,-25...0, 5,...40, l'axe des abcisses se trouvant en 0
-Le nouvel axe des abcisses se trouvant en -6dB et à partir de ces -6dB, je fais + 5dB jusqu'à arriver à 40 dB; et -5dB jusqu'à arriver à -40dB.
Donc si je prends pour exemple la fonction 1/s qui commençait à 20dB va cette fois-ci commencer à 14dB.
Ou alors je ne touche pas à la graduation et je descends tout simplement l'axe des abscisses à -6dB et à partir de ce nouvelle axe je détermine la marge de gain(car c'est le but final de l'exercice)?
-Mon ancienne graduation étais de -40 ,-35,-30,-25...0, 5,...40, l'axe des abcisses se trouvant en 0
-Le nouvel axe des abcisses se trouvant en -6dB et à partir de ces -6dB, je fais + 5dB jusqu'à arriver à 40 dB; et -5dB jusqu'à arriver à -40dB.
non mais ton ancienne graduation prenait toute la page ?
du coup si tu pouvais aller de -40 à +40, maintenant tu peux aller de -34 à +46
Ou plus simplement on dit pour la fonction 10/s^2, qu'il eest possible d'oténir la courbe des gains en traçant une droite de -40dB/décade passant par w=1 puis en abaissant l'axe des abscisses de 20dB=20log10.
En noir, l'ancienne graduation.
En rouge, la nouvelle graduation.
Tu dois tracer le diagramme avec les nouvelles graduations...
Donc par exemple pour H1(s), le gain en dB est 20*log2 = 6dB
Le graphe de cette partie sera sur + 6 dB de la graduation en rouge ...
Soit exactement sur la ligne de 0 dB de l'ancienne graduation.
N'est-ce pas évident ?
Salut J-P,
Je crois que j'ai compris, en fait, il faut faire une simple translation.
Sur cette base j'ai continué l'exercice et j'ai tracé asymptotiquement la courbe des amplitudes et des phases que je joins en fichier. Le but de l'exercice est de déterminer le gain critique, en sachant que cela se fait à partir de la marge de gain(Am). C'est H(s)=2/[s(s+1)2] qui est en rouge sur le graphe (et non H3(s), c'estune erreur que j'ai fait au moment du dessin).Donc j'ai fait la somme de H2(s)=1/s et de H3(s)= 1/(s+1)2, pour H1(s)=2 sa seule contribution et de faire passer l'axe des abscisses de W0 à w1.Pour Am j'ai obtenu 34dB et la marge de phase est de 90°.
Peux-tu me dire tout d'abord si mon tracé est juste et si les valeurs de marges de gain et de phase sont correctes.
Et après en sachant que Am=(Gain critique/Gain optimal) on tire Gain critique = Am*gain optimal
Am = 34dB ce qui correpond à 50 (20lo50=34dB)
Pour le gain optimal, la fonction de base étant H(s)=2/[s(s+1)2] le gain optimal est 2.
Donc en conclusion le gain critique est 50*2=100
Ce que je trouve étonnant car quand je passe par le critère de Routh:
En boucle fermée la fonction de transfert est K*H/(1+K*H)
l'équation caractéristique est 1+K*H=0 d'où [s(s+1)2+2K]/[s(s+1)2]
pour que cette équation soit nulle il faut que le numérateur soit nul soit s(s+1)2+2K=0
Le tableau de Routh est:
1 1 0
2 2K 0
(2-2K)/2 0 0
le système est asymptotiquement stable s'il n'y a pas de changement de signe dans la première colonne
soit (2-2K)/2 >0 d'où gain critique =1
Pour le critère de Routh je suis sur de moi, mais je ne sais pas pourquoi je trouve 100 fois avecle diagramme de Bode.
Merci de m'aider à y voir plus clair.
Pour moi, les diagrammes asymptotiques de Bode sont :
(en mauve la réponse complète).
La marge de gain se mesure à Phi = -180° (et pas à -270°)
Le gain est positif pour Phi = 180° et donc le système est instable.
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Sauf si je me suis trompé.
Je ne comprends pas pourquoi la courbe H(s)(reponse complete en mauve) commence à 40dB; car pour 1/s on a une pente de -20dB/décade et pour 1/(s+1)2 on a 0dB jusqu'à la pulsation de brisure(1) et après une pente de -40dB/décade, donc jusqu'à 1 rad/s on devrait avoir -20dB/décade pour H(s)(la reponse complete commencerait donc à 20dB comme je l'ai dessinée) et après H(s) prend une pente de -40dB/décade.
Arrention, grosse lacune de ta part.
Tu ne peux pas dire que la courbe de gain "commence" à 40 dB, c'est une ENORME erreur.
L'axe des abscisses n'a pas de zéro, ou plus exactement le point à 0 rad/s est à l'infini vers la gauche.
Sur mon dessin, le point le plus à gauche de l'axe des abscisses correspond à 0,01 rad/s
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Donc, sur mon dessin, on a un gain de + 40 dB pour w = 0,01 rad/s
Et (même si c'est hors dessin), on aurait + 60 dB à 0,001 rad/s
et + 80 dB à 0,0001 rad/s
et ainsi de suite.
On a tout simplement un gain infini pour w = 0 rad/s (qui ne peut évidemment jamais être représenté sur le diagramme).
Cela est du à la présence de l'intégrateur...
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Toi, tu as commencé ton diagramme une décade plus loin pour w (tu as commencé à w = 0,1 rad/s ... mais tu ne t'en ais probablement pas rendu compte, la graduation de l'axe des abscisses est logarithmique et donc w = 0 n'est JAMAIS sur le diagramme).
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Le diagramme a bien, comme tu le dis, une descente de 20 dB/décade jusque x = 1 rad/s et passe à 0dB en w = 1 rad/s
Et donc :
0 dB à w = 1 rad/s
20 dB à w = 0,1 rad/s
40 dB à w = 0,01 rad/s
...
100 dB à w = 0,00001 rad/s
...
Mais, on fait commencer le diagramme pour avoir la partie interressante visible.
Toi tu as choisis w = 0,1 rad/s et moi w = 0,01 rad/s pour le dabut du diagramme ... Mais c'est évidemment équivalent.
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Remarque:
Attention (je ne l'ai pas fait), mais pour trouver les marges de gain et de phase, il faut prendre les courbes "affinées" et pas les asymptotiques, surtout si elles diffèrent sensiblement aux points critiques et c'est le cas ici.
Si on le fait, on devrait trouver, dans le cas de l'exercice, une marge de gain nulle et une marge de phase nulle.
... Ce ne sera pas stable.
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OK ?
Sauf distraction
Tu as certainement raison pour les 40dB car tu as commencé ta courbe à 0,01 et moi à 0,1 d'où mes 20dB.
Donc je suis d'accord jusqu' à la partie w= 1rad/s, car normalement de 0,01(sur ta courbe) jusqu'à 1 on additionne les deux courbes et ça donne la courbe mauve qui commence à 40dB(0,01) et finit à 0dB en w=1, là je suis tout à fait d'accord avec toi. Mais après donc à à partir de w=1 normalement la coube mauve devrait prendre une pente de -40dB/décade (due à H3(s) =1/[s(s+1)2]) et se coller donc à la courbe en bleu sur ton dessin.Aide moi à comprendre cette partie s'il te plait et je crois que j'aurais déjà bien avancé.
normalement la coube mauve devrait prendre une pente de -40dB/décade (due à H3(s) =1/[s(s+1)2]) et se coller donc à la courbe en bleu sur ton dessin.
Non, non :
Il faut "additionner" les pentes des "composantes" pour trouver la pente totale.
A partir de 1 rad/s:
2 a une pente de 0 dB/décade
1/s a une pente de -20 db/décade
1/(s+1)² a une pente de -40 db/décade
Le résultat en est que :
A partir de 1 rad/s, 2/[s.s+1)²] a une pente de 0 - 20 - 40 = -60 dB/décade
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Se rappeler les propriétés des logarithmes:
20.log[2/(s.(s+1)²)] = 20.log(2) - 20.log(s) - 20.log(s+1)²
20.log[2/(s.(s+1)²)] = 20.log(2) - 20.log(s) - 40.log(s+1)
Et on voit bien que si s > > 1, alors s+1 est presque égal à s et qu'on a alors :
20.log(2) - 20.log(s) - 40.log(s+1) presque égal à 20.log(2) - 20.log(s) - 40.log(s)
Soit donc: presque égal à 20.log(2) - 60.log(s)
Et donc pour s grand, on a bien la courbe de gain qui descend à -60db/décade.
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Sauf distraction.
Ah donc c'est parce que ton échelle ne va pas jusqu'à -40dB, sinon en w=10 la courbe mauve serait bien en -40dB si je comprend bien?
Non,
En w = 10 rad/s, la courbe mauve serait à -60 dB avec la graduation noire.
Et à - 54 dB avec la graduation rouge (qui est la bonne pour l'exercice).
Voila le graphe asymptotique du gain prolongé vers "le bas".
Sauf distraction.
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