Niveau licence

Développement limité - énergie relativiste

Posté par
nico10310 01-10-17 à 17:33

Bonjour,

L'énergie classique d'une particule est donnée par $E=m_0c^2+\frac{1}{2}m_0v^2$ et son énergie relativiste par $E=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$

Question :
Montrer que le développement limité à l'ordre 1 en v/c (ie v<<c) de l'énergie relativiste redonne la formule classique.

donc : $E(\frac{c}{v})=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} = m_0c^2 \; si \; v<<c$
et j'ai trouvé : $\frac{dE(\frac{c}{v})}{d\frac{v}{c}}=\frac{m_0cv}{(1-(\frac{v}{c})^2)^{3/2}} = m_0cv \; si \; v<<c$

Et donc en appliquant la formule de Taylor, je trouve :
$E(\frac{c}{v})=m_0c^2+m_0v^2 + o((\frac{v}{c})^2)$
Il ne me manque que le 1/2
Que faire ?

Merci

Posté par re : Développement limité - énergie relativiste 01-10-17 à 17:59

Hello

$E = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} =m_0c^2 \times (1-\frac{v^2}{c^2})^{-1/2} \approx m_0c^2 \times (1 - (-\frac{1}{2})\times \frac{v^2}{c^2})$

On a bon?

Posté par re : Développement limité - énergie relativiste 01-10-17 à 20:07

Hello

A la réflexion je crois que je te dois quand même une complément d'explication! En jetant un oeil plus attentif sur ta proposition, je crois que le pbm vient du fait que tu "t'emmêles les pinceaux" lorsque tu veux faire ton DL:

Tu écris (à peu près mais c'est ce que tu voulais écrire)

$E(\frac{v}{c})=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$

Donc l'énergie est une fonction de la variable x = v/c  avec:

$f(x) =\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-x^2}}$

Tu fais un DL à l'ordre 1 en 0

$f(x) = f(0) + f'(0)(x-0) + o(x)$

Avec $f'(x) = m_0c^2(1-x^2)^{-3/2}x$

Donc $f'(0) = 0$   en prenant comme variable x = v/c, l'ordre 1 ne suffit pas!

Par contre, comme tu le vois dans ma 1ere réponse en prenant comme variable x = (v/c)². On arrive au résultat avec un DL à l'ordre 1

La contradiction se résout en faisant un DL à l'ordre 2 lorsque l'on choisit comme variable x = v/c. Ce qui parait logique à la lumière de la phrase précédente.

Tu feras le calcul: $f''(0) = 1$   et comme

$f(x) = f(0) + f'(0)(x-0) + \frac{f''(0)}{2!}(x-0)^2 +  o(x^2)$

C'est le 1/2! qui apporte le 1/2 tant attendu