Bonjour
C'est vrai que tes schémas sont de plus en plus clairs ! Une remarque tout de même : le fil étant de masse négligeable et la poulie étant mobile sans frottement, on peut comme tu l'as fait, considérer les tensions du fil de même norme aux deux extrémités du fil. Cela ne signifie pas que les deux vecteurs forces sont égaux : ils diffèrent par leurs directions. Il serait donc préférables de noter les deux tensions et pour poser ensuite :

Cela conduit à :

Pour la question 2) il faut commencer par remarquer, avec m=3M :

Sans les frottements, la masse m aurait tendance à descendre la pente, la masse M aurait tendance à monter. Cette remarque permet de déterminer les sens des réactions tangentielles et exercées par les plans sur les masses. Ensuite il faut écrire les deux conditions d'équilibre en tenant compte de la loi de Coulomb sur les frottements entre solides en absence de glissement.

1)

m.g.sin(alpha) = M.g.sin(Beta)

m.sin(alpha) = M.sin(Beta)
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2)

Supposons M à la limite de glisser vers le bas (cas ou M.sin(Beta) > m.sin(beta) ) :

Mg.sin(beta) - T - f * Mg * cos(beta) = 0
T = Mg.sin(beta) - f * Mg * cos(beta

Alors m sera à la limite de glisser vers le haut :
mg.sin(alpha) - T + f * mg * cos(alpha) = 0
T = mg.sin(alpha) + f * mg * cos(alpha)


On a donc : Mg.sin(beta) - f * Mg * cos(beta) = mg.sin(alpha) + f * mg * cos(alpha)

M.sin(beta) - f * M * cos(beta) = m.sin(alpha) + f * m * cos(alpha)

f * (m * cos(alpha) + M * cos(beta)) = M.sin(beta) - m.sin(alpha)

f = (M.sin(beta) - m.sin(alpha))/(m * cos(alpha) + M * cos(beta))

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Et dans le cas où M.sin(Beta) < m.sin(beta), on trouve par la même méthode :

f = (m.sin(alpha) - M.sin(beta))/(m * cos(alpha) + M * cos(beta))

Donc f min = |m.sin(alpha) - M.sin(beta)|/(m * cos(alpha) + M * cos(beta))

avec m = 3M, alpha = 15° et Beta = 25° -->

f min = |3M.sin(15°) - M.sin(25°)|/(3M * cos(15°) + M * cos(25°))

f min = |3.sin(15°) - sin(25°)|/(3 * cos(15°) + cos(25°))

f min = 0,093
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Sauf si je me suis planté.  

bonjour tout le monde
je vous remercie énormément pour votre aide...

Un rappel :
Les forces de frottements s'opposent toujours au mouvement.
si on a un déplacement selon + X  , la force tangentielle de frottement sera orientée selon - X   , et on aura donc:
  Rt1=  -f  Rn   X
et pareil pour Rt2

en présence de frottements, si le glissement entre les solides    est nul    , alors il existe entre les composantes normale et tangentielle de l'effort de contact la relation T /  N < f
et si les deux solides glissent l'un par rapport à l'autre cela devient :
T  /  N = f

Bonjour nano21
En utilisant les résultats que tu viens de rappeler, tu devrais tout seul être capable d'obtenir l'inégalité vérifiée par le coefficient de frottement.
Remarque : je ne sais pas si ton professeur fait la différence entre coefficient de frottement statique et coefficient de frottement dynamique. Rigoureusement, en absence de glissement :
T /  N f_s  : coefficient de frottement statique
existence d'un glissement : T /  N = f_d : coefficient de frottement dynamique.
En pratique : f_s>f_d mais l'écart entre les deux coefficients est de l'ordre de 10%. Parfois, pour simplifier, on ne fait pas la différence entre les deux coefficients en les considérant comme identiques.C'est peut-être ce que fait ton professeur.
Sinon, ton énoncé est clair : il s'agit d'étudier la condition d'équilibre donc l'absence de glissement comme expliqué dans mon message du   19-06-17 à 16:53. C'est donc le coefficient de frottement statique qui intervient.

bonjour Vanoise,
Merci pour ces explications vraiment claires comme de l'eau de source.....je te souhaite excellentes journée.

bonjour j-p,
je voulais te remercier encore une fois, j'ai analysé attentivement ton raisonnement , il est correcte... .Très bonne journée à toi!

Bonjour nano21

Si ton professeur ne fait pas la différence entre coefficient de frottement statique et coefficient de frottement dynamique, il acceptera le raisonnement précédent. A titre documentaire, voici l'étude de l'équilibre, donc l'étude de l'absence de glissement. Puisque : , l'absence de glissement suppose une réaction tangentielle orientée vers le haut de la pente et une réaction orientée vers le bas. Je note et les deux réactions normales. Inutile je pense de refaire le schéma.

Condition d'équilibre de la masse m :



En projetant sur deux axes orthogonaux respectivement colinéaire et orthogonal à la ligne de plus grande pente et en notant T la valeur commune :



Étude analogue de l'équilibre de la masse M :





En éliminant T entre (1) et (3) on obtient :



Loi de Coulomb sur l'absence de glissement entre solide :



Addition membre à membre des relations (6) et (7) :



Soit, en tenant compte de (2) et (4) :



En remplaçant dans (5) et en simplifiant par g, on obtient l'inégalité vérifiée par le coefficient de frottement statique en absence de glissement :

je suis tout a fait d'accord avec toi vanoise ...j'ai bien compris la différence entre coefficient de frottement statique et coefficient de frottement dynamique  mais dans le cours ils ne parlent pas  de cette différence...