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deux masses liées par un ressort: équation différentielle?
Bonjour!
Passant en spé, je suis en train de me pencher sur un exo de sup du programme de mécanique: il s'agit d'un sujet d'oral de concours. Le voici:
"Deux masses M1 et M2, de masse m1 et m2 respectivement, sont disposé sur une table horizontale, et sont relié par un ressort de longueur à vide L0 et de raideur k. Les deux masses sont initialement immobiles et séparé d'une longueur L1 (à l'aide des mains de l'experimentateur par exemple...). A t=0, on lache le systeme. Déterminez l'expression de la position de M2. (Les frottements sont négligés)"
Voici ce que j'ai fait:
La table étant horizontale, on ne se penchera que sur la composante x horizontale. Je place l'origine de l'axe à la position initiale de la masse M1: x1(0)=0.
On se place dans le référentiel barycentrique, qui est galiléen (chose qu'on peut affirmer grace au théoreme du centre de masse: le systeme des deux masses est pseudo-isolé).
On applique alors le PFD au mobile fictif dans le référentiel barycentrique:
µ*d²GM/dt²=-k(l-lo)ux avec µ masse du mobile fictif
ce qui nous donne: d²GM/dt²+(k/µ)GM=k*lo*ux.
On résout cette équation différentielle: On a alors: (en posant w²=k/µ):
GM=k*lo*ux + A*cos(w*t) + B*sin(w*t).
En projetant cette relation sur l'axe des x, on a:
Les conditions initiales sont: x(0)=L1, dx/dt(0)=0 (car quand on lache les masses à l'état initial, leur vitesse est nulle).
On obtient donc .
On obtient alors le mouvement de M2 dans le referentiel barycentrique en multipliant x par m1/(m1+m2);
On obtient le mouvement dans le référentiel en y ajoutant le mouvement xG du barycentre G. On aurait alors x2.
Or, le corrigé (qui ne donne pas beaucoup d'information) me dit que:
Ce qui n'a rien avoir avec ce que je trouve...
Quelqu'un peut-il m'aider? Merci d'avance! 
Référentiel terrestre, Axe des abscisses sur la doite supportant le ressort, origine à la position initiale de m1.
k.[(x2-x1)-Lo] = m1.d²x1/dt² (1)
k.[(x2-x1)-Lo] = -m2.d²x2/dt² (2)
m1.d²x1/dt² = -m2.d²x2/dt²
dériver 2 fois (2)
k.d²x2/dt² - k.d²x1/dt² = -m2.d^4x2/dt^4
k.d²x2/dt² + k.(m2/m1).d²x2/dt² = -m2.d^4x2/dt^4
d^4x2/dt^4 + d²x2/dt².(k/m1 + k/m2) = 0
p^4 + p²(k/m1 + k/m2) = 0
p1 = 0, p2 = 0, p3 = i*racine(k/m1 + k/m2), p4 = -i*racine(k/m1 + k/m2)
x2 = A + Bt + C.cos(t.racine(k/m1 + k/m2)) + D.sin(t.racine(k/m1 + k/m2))
x2(0) = L1 --> A + C = L1
(dx2/dt)(0) = 0 --> B + D.racine(k/m1 + k/m2)) = 0 et comme B = 0 (le machin ne pas pas aller se balader à une distance infinie avec t), D = 0
(d²x2/dt²)(0) = -k.(L1-Lo)/m2
-C.(k/m1 + k/m2) = -k.(L1-Lo)/m2 ---> C = m1/(m1+m2) * (L1-Lo)
On arrive alors à :
x2(t) = (L1 - m1/(m1+m2) * (L1-Lo)) + m1/(m1+m2) * (L1-Lo).cos(t.racine(k/m1 + k/m2))
x2(t) = (L1(m1+m2) - m1.(L1-Lo))/(m1+m2) + m1/(m1+m2) * (L1-Lo).cos(t.racine(k/m1 + k/m2))
x2(t) = (m2.L1 + m1.Lo))/(m1+m2) + m1/(m1+m2) * (L1-Lo).cos(t.racine(k/m1 + k/m2))
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Sauf distraction.
Merci pour la réponse!
Vu comme ca il n'y a pas de soucis
Cependant une question subsiste: aurait-il été possible de passer par le référentiel barycentrique? Comment se fait-il que je trouve une réponse assez différente avec ce référentiel? Il doit bien y avoir une erreur quelque part...
Encore merci!
Il y a plusieurs misères.
a) L'équation x = k.Lo + A.cos(wt) + B.sin(wt) n'est pas homogène (puisque x a la dimension d'une longueur et k.Lo a les dimensions d'une force)
Il y a un µ qui s'est perdu entre µ*d²GM/dt²=-k(l-lo) et d²GM/dt²+(k/µ)GM=k*lo
b)
(dx/dt)(0) = 0 donne B = 0 à partir de l'équation précédente et pas ce que tu as écrit.
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µ*d²GM/dt²=-k(l-Lo)
d²GM/dt²+(k/µ)GM=k*Lo/µ
d²x/dt²+(k/µ)x=k*Lo/µ
x = Lo + A.cos(V(k/µ) t) + B.sin(V(k/µ) t)
x(0) = L1 --> A = L1-Lo
(dx/dt)(0) --> B = 0
x(t) = Lo + (L1-Lo).cos(V(k/µ) t)
...
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Sauf distraction.
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