Bonsoir
Une fois obtenue l'équation de dispersion donnant k², Il faut poser
k=k1 +i. k2  où k1 et k2 sont 2 réels. Tu devrais aboutir à une onde progressive sinusoïdale dont l'amplitude décroît exponentiellement en fonction de la distance parcourue dans le métal. Si j'ai bien deviné l'énoncé  (pas d'énoncé complet) l'objectif est la modélisation de l'effet de peau.

Merci de ta réponse.
J ai déjà calculé k1 et k2 et j ai bien une amplitude exponentielle qui décroît en fonction de la distance et de la fréquence mais ce n est pas ça mon problème.  Mon problème est que je n arrive pas a partie de mon k réel a trouver la vitesse de l onde v = w/ reelle (k)

Je pars de ton résultat :



Par identification :



On remarque en général :   (à vérifier en fonction des données de l'énoncé mais cela est en général valide pour les ondes hertziennes et l'optique (pas pour les RX et R ) ; cette approximation revient à négliger la densité de courant de déplacement devant la densité de courant de conduction). D'où les expressions approchées :



Ensuite, comme tu l'as écrit :

Oui je suis d'accord avec ce que tu as mis mais ta vitesse me pose probleme car on a :


ce qui veut dire que la vitesse de l'onde tend vers l'infini quand la fréquence tend vers l'infini

C'est très bien de te poser ce genre de questions sur le réalisme des résultats obtenus.  Si tous les étudiants pouvaient en faire autant !
Il ne faut pas perdre de vue que, quand la fréquence devient très grande, k2 devient aussi très grand, l'épaisseur de peau tend vers zéro, l'onde ne se propage pas dans le métal ; elle se réfléchit  : la surface métallique se comporte comme un miroir.

K2 étant bien le terme qui intervient dans l amplitude exponentielle qui décroît en fonction de la distance et de la fréquence. Ce qui me pose problème c'est qu à une vitesse supérieur à celle de la lumière,  l onde existe mais  à une amplitude qui tend vers 0 ?

Je crois que tu compliques  la situation. Si l'onde est inexistante, inutile de se poser la question de son hypothétique vitesse de propagation ! Tu es arrivé à :



L'amplitude de l'onde décroit exponentiellement avec la profondeur dans le métal et cela d'autant plus rapidement que la fréquence est grande. Au fréquences très élevée on peut négliger cette profondeur de pénétration et considérer que l'onde se réfléchit. Difficile d'aller plus loin et d'étudier la limite quand la fréquence tend vers l'infini. N'oublie pas que cette théorie est limitée aux ondes de fréquences ne dépassant pas 10¹²Hz environ. Sinon, la densité de courant de déplacement n'est pas négligeable devant la densité de courant de conduction. N'oublie pas non plus qu'aux très hautes fréquences (RX,R ) la théorie ondulatoire perd de sa pertinence. Il faut utiliser la théorie quantique et la notion de photon...

Ok merci pour tes réponses c est beaucoup plus clair ! En effet j ignorais que le système ondulatoire perdait de sa pertinence à une certaine frequence.

Dernière petite question, je peux reprendre la même démarche pour étudier la vitesse d une onde dans un diélectrique comme l air, le bois ... ?  Car dans les diélectriques j ai une densité de courant du à la polarisation ? J aurais aussi un phénomène d effet de peau même dans les milieux diélectrique ?

Si le milieu est homogène linéaire et isotrope la situation est très simple. Il suffit de remplacer _o par _o._r et µ_o par µ_o.µ_r où _r est une constante supérieure à 1 appelée permittivité relative du milieu et µ_r une constante supérieure à 1 appelée perméabilité magnétique relative.
Dans de nombreux milieux, la situation est plus compliquée : en particulier la célérité dépend de la fréquence...
La notion d'effet de peau existe seulement pour les conducteurs solides.

Justement je n'arrive pas à obtenir la relation entre la vitesse de l'onde et la fréquence dans les milieux diélectriques. Pour qu'il y ait relation entre célérité et fréquence, il y a forcément une densité de courant qui intervient. En m'inspirant des milieux conducteurs il faudrait que j'arrive a changer la densité de courant par un champ E. Mais je ne peux pas mettre    car il n'y a pas de conductivité électrique dans les diélectriques. Comment je peux faire ?

Pour un diélectrique homogène, comme déjà expliqué :


Si tu veux traiter un exemple de milieu dispersif pas trop compliqué, tu peux t'intéresser à la propagation dans un plasma, comme dans ce problème par exemple :

Ok merci beaucoup Vanoise pour ton temps et tes précieuses explications !