Niveau iut

Determiner cp et cv (THERMO)

Posté par
Eray 06-11-16 à 14:40

Bonjour à tous,

Voilà, pour un TP de thermo, je dois retrouver les expressions des capacités thermiques à volume (cv) et a pression constante (cv)

Pour cela on me demande d'utiliser deux expressions :
-L'équation d'état de van der Waals pour une mole de gaz (1)
- Et une équation de l'énergie interne (2)

(Ru, a, b et c sont des constantes)

En isolant a dans (1) et en l'injectant dans (2) je trouve une nouvelle équation pour u

Je sais que cv= (∂u/∂T) à v constant et que cp=(∂u/∂T)+P*(∂v/∂T) à P constant

Mais j'ai un peu de mal avec les dérivées partielles… j'aimerais savoir si je suis sur le bon résonnement et si vous pouvez m'aider

Merci =)

Determiner cp et cv (THERMO)

Posté par re : Determiner cp et cv (THERMO) 06-11-16 à 15:08

Bonjour
Pour l'expression de c_v, le résultat est immédiat ; il suffit d'utiliser la relation de définition que tu as rappelée en l'appliquant à la première expression de l'énergie interne :

$c_{v}=\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{V}=c$
Tu dérives l'expression de u fournie en considérant v comme une constante dans le calcul de la dérivée.
Pour c_p, la situation est plus compliquée. L'expression fournie est équivalente à :

$c_{P}=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{P}\quad avec\quad H=U+P.V=c.T-\frac{a}{V}+P.V$
Il faut calculer P.V à partir de l'équation de Van der Waals et remplacer... L'expression obtenue est assez compliquée. Habituellement on la simplifie en négligeant le produit de deux termes correctifs... L'énoncé fournit-il des renseignements sur les simplifications à faire ? S'agit-il d'exprimer c_p en fonction des constantes et de T ?

Posté par re : Determiner cp et cv (THERMO) 06-11-16 à 15:47

Bonjour Vanoise, merci de ta réponse

j'avais essayer de déterminer v mais sa fait un truc compliqué ...

Je n'ai pas plus d'indication, on me demande de trouver les expressions de cp et de cv, sachant que a b c et Ru sont des constantes

Posté par re : Determiner cp et cv (THERMO) 06-11-16 à 15:58

Voici une solution possible : j'ai fait quelques approximations que j'ai justifiées.

$C_{P}=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{P}\quad avec\quad H=U+P.V=c.T-\frac{a}{V}+P.V$

Remarque préliminaire : il faut préciser que le système étudié est une mole de gaz... En développant l'équation d'état de Van der Waals, on obtient :

$P.V=R_{u}.T+P.b-\frac{a}{V}+\frac{a.b}{V^{2}}$

$H=\left(c+R_{u}\right).T-\frac{2a}{V}+P.b+\frac{a.b}{V^{2}}$

Si on remplace V par son expression en fonction de P et T à partir de l'équation de Van der Waals, on obtient un résultat très compliqué et difficile à exploiter. On commence donc par raisonner sur les ordres de grandeurs. Par rapport à la loi des gaz parfaits ( $P.V=R_{u}.T$ ), a et b sont des termes correctifs très petits. Le produit a.b est ainsi le produit de deux termes chacun très petit devant 1. On peut donc négliger le terme correctif $\frac{a.b}{V^{2}}$ devant les termes correctifs P.b et $\frac{2a}{V}$ . De plus, on peut écrire l'inverse de V comme la valeur correspondant au gaz parfait à laquelle s'ajoute un terme correctif, terme correctif qui, multiplié par a, deviendra négligeable. On pose donc :

$\frac{2a}{V}\approx\frac{2a.P}{R_{u}.T}$

D'où l'expression approchée de l'enthalpie d'une mole de gaz :

$H\approx\left(c+R_{u}\right).T+P\left(b-\frac{2a}{R_{u}.T}\right)$

$C_{P}=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{P}\approx c+R_{u}+\frac{2a.P}{R_{u}.T^{2}}$

Remarque : on obtient : $C_{P}-C_{V}=R_{u}+\frac{2a.P}{R_{u}.T^{2}}$ ; Tu as démontré en cours la relation de Mayer pour un gaz parfait : $C_{P}-C_{V}=R_{u}$ . Il y a bien cohérence...