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determiner V à partir du potentiel vecteur

Posté par
cosmoff 26-03-23 à 06:16

Bonjour à tous,

voila avec de la jauge de Lorenz
$div \vec{A} = -1/c² \frac{dV}{dt}$
je dois déterminer V avec
$\vec{A}(\vec{M},t) = \frac{µ}{4\pi r}.\dot{\vec{p}}(\vec{OP}, t-\frac{r}{c})$

j'ai donc
$\vec{A}(\vec{M},t) = \frac{µ}{4\pi r}.\frac{dp}{dt}(\vec{OP}, t-\frac{r}{c})$

je met ca dans la jauge de Lorenz
$\frac{d}{dt} div(\frac{\mu p(\vec{OP}, t-\frac{r}{c})}{4\pi r})= \frac{d(\frac{-V}{c²})}{dt} \\ \\ div(\frac{\mu p(\vec{OP}, t-\frac{r}{c})}{4\pi r}) = \frac{-V}{c²}$

il ne me reste donc qu'a calculer la divergence et j'aurais V, j'ai la reponse à l'éxercice:
$V = \frac{Q}{4\pi \varepsilon r } + \frac{\dot{p}(P, t - \frac{r}{c})}{4\pi \varepsilon r c}.cos\theta$

"P" est dirigé sur l'axe des z, j'ai donc pour la divergence
$\frac{d}{dz}\frac{\mu q z }{4\pi \sqrt{x²+y²+z²}}=(\frac{1}{r} - \frac{z²}{r³} ). \frac{\mu q }{4\pi }$

$V= \frac{-Q}{4\pi \varepsilon r} + \frac{Q z²}{4\pi \varepsilon r³}$

aie et là, catastrophe, j'ai du mal à comprendre mes erreurs, ma divergence semble bonne, pourtant j'ai un signe - en trop et le second membre de V est tres différents de ce que je suis censé avoir, j'ai meme pas dp/dt

avez vous une idée ou je me suis trompé ?
merci d'avance

Posté par re : determiner V à partir du potentiel vecteur 26-03-23 à 11:42

Bonjour
Tu oublies la flèche du vecteur à la troisième ligne mais surtout : tu dois revoir ton calcul de divergence. Tu peux t'aider du document suivant, page 5 en particulier.

Posté par re : determiner V à partir du potentiel vecteur 27-03-23 à 04:48

merci de votre réponse Vanoise.
Le document m'a beaucoup aidé, néanmoins je coince sur une partie.
Ce que je ne comprend pas c'est pourquoi la dérivée de p(t-r/c) donne -1/c dp(t-r/c) /dt, d'ou sort le -1/c ? j'imagine qu'il vient du -r/c dans les parametres de la fonction, mais pourquoi décaler une fonction de r/c vers la droite impose de rajouter le coefficient -1/c pour que la dérivée soit bonne ?
connaissez vous le nom de cette propriétée ?

Posté par re : determiner V à partir du potentiel vecteur 27-03-23 à 11:40

Avec les notations du document, ton problème semble être l'égalité :

$\frac{\partial}{\partial r}\left[\frac{dp}{dt}\left(t-\frac{r}{c_{o}}\right)\right]=-\frac{1}{c_{o}}\cdot\frac{d^{2}p}{dt^{2}}\left(t-\frac{r}{c_{o}}\right)$

Je détaille le calcul en posant : $u=\left(t-\frac{r}{c_{o}}\right)$ . De façon générale pour une grandeur y quelconque dépendant de t et de r :

$\frac{\partial y}{\partial r}=\frac{\partial y}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial r}=-\frac{1}{c_{o}}\cdot\frac{\partial y}{\partial u}$

$\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{\partial y}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial y}{\partial u}$

Donc :

$\frac{\partial y}{\partial r}=-\frac{1}{c_{o}}\cdot\frac{\partial y}{\partial t}$

Il suffit d'appliquer cela à : $y=\frac{dp}{dt}\left(t-\frac{r}{c_{o}}\right)$ .

Posté par re : determiner V à partir du potentiel vecteur 27-03-23 à 15:57

Merci Vanoise pour votre réponse.
Oui c'est effectivement la que je coince.

pour moi dans p(t-r/c) , le -r/c permet juste de dire que l'onde m'est un certain temps pour parvenir au point M, l'onde sera donc déphasé entre le point O et le point M. C'est juste pour dire que la lumiere a une vitesse.
De plus p(t) = OP*q et donc ne dépend pas de r. donc pourquoi dériver par rapport à r?

c'est tres confus comme tu peux le voir

Posté par re : determiner V à partir du potentiel vecteur 27-03-23 à 17:01

Au point M où on exprime les potentiels, chaque potentiel est une fonction de la variable u=t-r/c_o. Pour cette raison, la divergence du vecteur $\vec A$ n'est pas identiquement nulle puisque $\vec A$ dépendant de u, $\vec A$ dépend de r, donc de la position du point M dans l'espace.

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