Niveau école ingénieur

Détermination d'une force à partir du diagramme de contrainte

Posté par
FrifaFreedom 15-07-20 à 12:19

Bonjour à tous,

Avant toute chose je m'excuse pour la "longueur" du message et j'espère pouvoir donner un maximum d'information pour expliquer mon problème.

Je cherche à déterminer la force de compression dans le béton d'une section triangulaire à partir du diagramme des contraintes.
La particularité de cette section est que la largeur de la section varie en fonction de x. Je vous joins une image. J'ai fait le test avec une section rectangulaire ou b ne varie pas en fonction de x et je trouve les bonnes valeurs. En revanche dans le cas où cette largeur varie, je ne parviens pas à obtenir le bon résultat et je ne vois pas l'erreur.

Par définition, la force Fc (qui est l'aire sous la courbe des contraintes) vaut:
$Fc=\int_{0}^{x}{b_{\varsigma }.\sigma _{\varsigma }.dx\varsigma }}$

avec x: la hauteur de l'axe neutre constante pour une sollicitation donnée
$x_{\varsigma }$ la position d'une fibre quelconque

Etant donné que le diagramme des contraintes contient une partie parabolique et une partie rectangulaire, j'ai décomposé l'intégrale comme ceci:

Fc= Fc1+Fc2 avec:

$Fc1=\int_{0}^{_{x1}}{b_{\varsigma }.\sigma _{\varsigma }.dx\varsigma }}$

$Fc2=\int_{x1}^{_{x}}{b_{\varsigma }.\sigma _{\varsigma }.dx\varsigma }}$

$x_{1}$ étant connu grâce au diagramme des déformations et valant   $\frac{4x}{7}$

Pour Fc1, la variable est $x_{\varsigma }$ et  sur l'intervalle $\left[0;x1 \right]$ ,   $b_{\varsigma }$ et $\sigma _{\varsigma }$ sont des fonctions de celles ci avec:

$b_{\varsigma }=\frac{b.x_{\varsigma }}{d}$

$\sigma _{\varsigma }=fcd-fcd(1-\frac{7x_{\varsigma }}{4x})^{2}$

fcd, b, x et d sont des constantes.

En intégrant Fc1, j'arrive à la valeur suivante:
$Fc1=\frac{20.b.fcd.x^{2}}{147d}$

Pour Fc2, la variable est $x_{\varsigma }$ et  sur l'intervalle $\left[x1;x \right]$ ,  seule $b_{\varsigma }$ est une fonction de celle-ci.   $\sigma _{\varsigma }$ est constante  (partie rectangulaire du diagramme des contraintes). Ainsi:

$b_{\varsigma }=\frac{b.x_{\varsigma }}{d}$

$\sigma _{\varsigma }=fcd$

En intégrant Fc2, j'arrive à la valeur suivante:

$Fc2=\frac{33.b.fcd.x^{2}}{98}$

fcd, b, x et d sont des constantes.

Au total, on aurait alors:

Fc=Fc1+Fc2
$Fc=\frac{139.b.fcd.x^{2}}{294.d}$

ou $Fc=0,4728\frac{b.fcd.x^{2}}{d}$

Or le résultat qu'il faut trouver est:
$Fc=0,3367\frac{b.fcd.x^{2}}{d}$

Je ne comprends pas d'où proviens l'erreur..pourriez vous me donner une piste svp?
merci d'avance

$Détermination d\'une force à partir du diagramme de contrainte$