Noté bien que le symbole ~X signifie le vecteur X  
Un point matériel M de masse m se déplace sur une hélice d'équation
(r = R, θ =
z
R
) en coordonnées cylindriques (r, θ, z), avec R > 0. L'axe
(Oz) est vertical ascendant (figure ci-contre).
On se place dans le référentiel R du laboratoire supposé galiléen. Le
point M est abandonné sans vitesse initiale depuis le point M0 tel que
(z = 0, θ = 0), et soumis au champ de pesanteur ~g = −g ~uz.
1. a) Exprimer le vecteur vitesse dans la base cylindrique
(~ur, ~uθ, ~uz), uniquement en fonction de la coordonnées z(t).
En déduire l'expression du vecteur unitaire ~ut tangent à la trajectoire
et orienté vers le haut, dans la base cylindrique.
Quel angle α l'hélice fait-elle avec le plan horizontal ?
b) On définit le vecteur unitaire ~un orthogonal à la trajectoire
par ~un = ~ur ∧ ~ut
. Calculer ~un dans la base cylindrique.