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Des balayeurs

Posté par
samphysique 04-06-17 à 11:11

Bonjour, je fais une résolution de problème mais je ne vois pas du tout comment commencer..

Énoncé :

Il était une fois à Saint-Pétersbourg deux balayeurs de rue nommés Oblomovetz et Stakhanovetz. Oblomovetz était paresseux, Stakhanovetz était un fou de travail, mais à
part cela, ils étaient identiques.
Un jour d'hiver particulièrement sévère, une panne d'électricité
toucha la ville entière et la neige se mit à tomber. Pour les envoyer sur leur lieu de travail, on propulsa nos deux balayeurs sur deux wagonnets identiques, roulant sans frottement, qui quittèrent la gare avec la même vitesse initiale v0.
Oblomovetz se mit immédiatement à dormir, tandis que Stakhanovetz commença immédiatement à balayer son wagonnet en expulsant, dans la direction perpendiculaire à son mouvement, tout flocon de neige qui s'y déposait. Lequel de ces deux balayeurs va parcourir la plus grande distance durant le même temps?
Il n'y a pas de collines à Saint- Pétersbourg; la ville est parfaitement plane. La quantité de neige tombant chaque seconde sur chacun des deux wagonnets était constante et égale à μ kilogrammes.


Je me doute qu'il s'agit d'une histoire de conservation de la quantité de mouvement mais je ne vois pas comment partir ..

Posté par
vanoisere : Des balayeurs 04-06-17 à 14:06

Bonjour
Les flocons tombent verticalement sur les wagons : leurs impacts sur les wagons sont donc sans influence sur les mouvements.
Une étude, analogue à celle faite pour la propulsion par réaction, montre que l'expulsion de matière avec un débit massique Dm=µ et avec une vitesse, mesurée par rapport au wagon \vec{V_e} est équivalente à une force exercée sur le wagon de vecteur
\vec{F}=-D_m \cdot\vec{V_e}.
Autrement dit : expulser la neige sur le côté est sans influence...
Je tiens la démo à ta disposition...

Posté par
quarkplusre : Des balayeurs 04-06-17 à 15:01

Bonjour,
Les wagonnets roulent sans frottement ...
Donc , ils ne sont pas guidés de façon rectiligne ?
Donc , celui qui balaie  , incurve sa trajectoire  ?

Posté par
vanoisere : Des balayeurs 04-06-17 à 15:05

J'ai supposé les wagonnets sur les rails rectilignes et l'absence de frottement.
Attention : je n'ai pas écrit que les deux wagonnets allaient conserver la même vitesse...

Posté par
samphysiquere : Des balayeurs 04-06-17 à 15:29

Donc les deux wagons arrivent au même instant ?
Je veux bien voir la démonstration svp

Posté par
vanoisere : Des balayeurs 04-06-17 à 16:41

Citation :
Je veux bien voir la démonstration svp

Voici en bleu la démonstration de l'expression de la force de poussée par réaction. Elle a été faite pour une fusée mais il est facile de l'adapter :
À la date t, la masse de la fusée est m et sa vitesse par rapport à la terre est v. Sa quantité de mouvement est ainsi à la date t :

\overrightarrow{p}=m.\overrightarrow{v}

À la date t+dt, la masse m précédente s'est coupée en deux parties :

1° : la fusée dont la masse a diminué à cause des gaz éjectés ; sa masse est \left(m-D_{m}.dt\right) et sa vitesse est \left(\overrightarrow{v}+d\overrightarrow{v}\right). Sa quantité de mouvement est :

\left(m-D_{m}.dt\right)\cdot\left(\overrightarrow{v}+d\overrightarrow{v}\right)

2° : les gaz éjectés de masse D_{m}.dt dont la vitesse par rapport à la terre est : \left(\overrightarrow{V_{e}}+\overrightarrow{v}+d\overrightarrow{v}\right) (relation de composition des vitesses). Leur quantité de mouvement est :

\left(\overrightarrow{V_{e}}+\overrightarrow{v}+d\overrightarrow{v}\right)\cdot D_{m}.dt

Soit F la résultante des forces appliquées à la masse m (poids, résistance de l'air...). La seconde loi de Newton pour un tel système s'écrit :

\overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}

où d\overrightarrow{p} désigne la variation de quantité de mouvement entre t et (t+dt) :

d\overrightarrow{p}=\left(m-D_{m}.dt\right)\cdot\left(\overrightarrow{v}+d\overrightarrow{v}\right)+\left(\overrightarrow{V_{e}}+\overrightarrow{v}+d\overrightarrow{v}\right)\cdot D_{m}.dt-m.\overrightarrow{v}=m.d\overrightarrow{v}+\overrightarrow{V_{e}}\cdot D_{m}\cdot dt

En reportant au-dessus :

\overrightarrow{F}=m\cdot\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}+D_{m}\cdot\overrightarrow{V_{e}}

\boxed{m\cdot\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\overrightarrow{F}-D_{m}\cdot\overrightarrow{V_{e}}}

Le produit masse . accélération de la fusée se calcule donc comme si, aux forces extérieures réellement appliquées, se superposait une force \overrightarrow{F_{p}}=-D_{m}\cdot\overrightarrow{V_{e}} ; ce terme complémentaire est appelé « force de poussée ».
Citation :
Donc les deux wagons arrivent au même instant ?

Je ne crois pas !
La masse du second wagonnet reste fixe puisque la neige qui y tombe est aussitôt éjectée. La masse du premier wagonnet augmente de µ kg par seconde...
Essaie d'adapter la démonstration précédente en prenant comme système à la date t le premier wagonnet de vitesse v plus une masse (µdt) de neige juste au-dessus du wagonnet. Le système de masse (m+µ.dt) à la date t+dt à la vitesse v+dv... En projetant la deuxième loi de Newton sur un axe horizontal orienté suivant la direction et le sens du vecteur vitesse, tu devrais montrer que le premier wagonnet ralentit alors que le second garde une vitesse fixe...
Remarque : cet exercice est intéressant sur le plan théorique mais évidemment irréaliste : il est impossible de rendre négligeables les frottements et impossible d'imaginer un parcours horizontal rectiligne suffisamment long pour que la masse de neige reçue soit non négligeable devant celle du wagonnet et de son occupant, même en Russie !

Posté par
samphysiquere : Des balayeurs 04-06-17 à 22:59

Parfait, merci pour la démonstration !
En effet ,difficile à réaliser en pratique

Posté par
samphysiquere : Des balayeurs 05-06-17 à 14:07

Une dernière précision, µ correspond déjà à une masse donc µ.dt ne peux pas en être  une..

Quand je fais mes calcul avec le système de masse m+ µ.dt et m je tombe sur v(t) ~=~A exp(\frac{-\mu t}{m}), résultat attendu alors que µ.dt n'est pas homogène à une masse..

Et en considérant m+ µ je bloque car je tombe sur : \frac{dp}{dt} = (m+\mu)\frac{dv}{dt}+\mu \frac{v}{dt}= 0

Posté par
vanoisere : Des balayeurs 05-06-17 à 14:17

Je n'ai pas évidemment l'énoncé intégral sous les yeux mais, quand tu écris :
"La quantité de neige tombant chaque seconde sur chacun des deux wagonnets était constante et égale à μ kilogrammes. " , je comprends que µ désigne la masse de neige tombant par seconde, c'est à dire le débit massique (souvent noté Dm) même si l'unité de µ est alors le kilogramme par seconde.

Posté par
samphysiquere : Des balayeurs 05-06-17 à 14:30

Non mais c'est bien ça, j'ai lu trop vite

Posté par
vanoisere : Des balayeurs 06-06-17 à 20:02

Bonjour

Citation :
je tombe sur v(t) ~=~A exp(\frac{-\mu t}{m}), résultat attendu

Pas d'accord !
L'équation différentielle obtenue est bien :

\frac{dv}{dt}+\frac{\mu}{m}\cdot v=0
Une solution de cette équation différentielle de la forme : v(t) ~=~A exp(\frac{-\mu t}{m}) suppose la masse m fixe, ce qui est faux ici puisque la neige reste sur le premier wagonnet. Impossible de répondre : "mais la masse de neige est négligeable devant celle du wagonnet !" : faire cette approximation revient à considérer l'influence de la neige sur la vitesse négligeable, ce qui supprime l'intérêt (certes théorique comme déjà expliqué) du problème.
A la date t, la masse en mouvement est mo+µ.t où mo est la masse du wagonnet et de son passager à la date t = 0 correspondant à la sortie de la gare. En séparant les variables, on peut écrire l'équation différentielle sous la forme :

\frac{dv}{v}=-\frac{\mu.dt}{m_{0}+\mu.t}
En intégrant entre la date zéro et une date t quelconque :

\ln\left(\frac{v}{v_{0}}\right)=-\ln\left(\frac{m_{0}+\mu.t}{m_{0}}\right)
Soit :

v=v_{0}\cdot\frac{m_{0}}{m_{0}+\mu.t}
En fait, la résolution de cette équation différentielle est tout à fait inutile : compte tenu de toute les approximations faites, en supposant que la neige tombe verticalement, la conservation du projeté de la quantité de mouvement de l'ensemble {wagonnet neige) sur un axe horizontal orienté suivant la direction et le sens du mouvement conduit directement et simplement à la conservation du produit (masse.vitesse) :

m_{0}\cdot v_{0}=\left(m_{0}+\mu.t\right)\cdot v

Posté par
samphysiquere : Des balayeurs 09-06-17 à 19:17

Super, je viens de voir le message.
Effectivement je me suis trompé, j'ai refais mes calculs et je trouve la même chose, merci beaucoup !

Posté par
quarkplusre : Des balayeurs 12-06-17 à 12:53

Je reviens sur cet exercice .
Est ce que celui qui balaie garde une vitesse constante ?
S'il balaie de la neige , c'est qu'elle est tombée sur le plancher du wagonnet .
Chaque flocon a acquis la vitesse du wagonnet .
Et cette quantité de mouvement est perdue quand la neige est expulsée .
Donc , les 2 ralentissent , mais pas de la même façon .

Je suppose que le posteur a la correction ?

Posté par
vanoisere : Des balayeurs 12-06-17 à 14:38

Bonjour

Citation :
Et cette quantité de mouvement est perdue quand la neige est expulsée .

Merci quarkplus : je viens de me rendre compte, grâce à ta remarque, d'une ambiguïté de l'énoncé que mes messages précédents n'ont pas prise en compte.
Je reprend l'étude du wagonnet du balayeur dans un repère terrestre, supposé galiléen (Ox,y,z) avec Ox : axe horizontal colinéaire aux rails orienté dans le sens du mouvement ; Oy : axe horizontal perpendiculaire aux rail ; Oz : axe vertical ascendant.
Je prends pour système à la date t le wagonnet de masse m, de vitesse v.\overrightarrow{u_{x}} et la masse \mu.dt de neige de vitesse -v_{n}.\overrightarrow{u_{z}}

Raisonnement n° 1 (celui fait précédemment) : j'interprète la phrase de l'énoncé : la neige est expulsée « dans la direction perpendiculaire à son mouvement » en considérant que la vitesse absolue d'expulsion de la neige est perpendiculaire au mouvement. La quantité de mouvement du système à la date (t+dt) est ainsi :

m.\left(v+dv\right).\overrightarrow{u_{x}}+\mu.dt.v_{e}.\overrightarrow{u_{y}}
En notant F la résultante des forces extérieures appliquées au système, la deuxième loi de Newton conduit à :

\overrightarrow{F}=\frac{m.\left(v+dv\right).\overrightarrow{u_{x}}+\mu.dt.v_{e}.\overrightarrow{u_{y}}-m.v.\overrightarrow{u_{x}}+\mu.dt.v_{n}.\overrightarrow{u_{z}}}{dt}=m\frac{dv}{dt}.\overrightarrow{u_{x}}+\mu.\left(v_{n}.\overrightarrow{u_{z}}+v_{e}.\overrightarrow{u_{y}}\right)
Compte tenu des hypothèses (très simplificatrices) de l'énoncé, le vecteur force ne peut avoir de composante suivant l'axe Ox. On obtient donc :

\frac{dv}{dt}=0

Le wagonnet garde une vitesse fixe. La chute de la neige augmente la force de réaction normale que les rails exercent sur le wagonnet ; les rails doivent aussi exercer une réaction selon (Oy) pour compenser l'effet de l'expulsion latérale de la neige.

Raisonnement n° 2 : Je considère que la vitesse d'expulsion perpendiculaire au mouvement est la vitesse relative par rapport au wagonnet. Cela ne change pas l'expression de la quantité de mouvement à la date t ; la quantité de mouvement à la date t+dt devient :

m.\left(v+dv\right).\overrightarrow{u_{x}}+\mu.dt.\left(v.\overrightarrow{u_{x}}+v_{e}.\overrightarrow{u_{y}}\right)
Alors :

\overrightarrow{F}=\frac{m.\left(v+dv\right).\overrightarrow{u_{x}}+\mu.dt.\left(v.\overrightarrow{u_{x}}+v_{e}.\overrightarrow{u_{y}}\right)-m.v.\overrightarrow{u_{x}}+\mu.dt.v_{n}.\overrightarrow{u_{z}}}{dt}=m\frac{dv}{dt}.\overrightarrow{u_{x}}+\mu.v.\overrightarrow{u_{x}}+\mu.\left(v_{n}.\overrightarrow{u_{z}}+v_{e}.\overrightarrow{u_{y}}\right)
Puisque F ne peut avoir de composante suivant (Ox), v vérifie l'équation différentielle :

m.\frac{dv}{dt}+\mu.v=0

On obtient la même équation différentielle que pour l'autre wagonnet... Les deux wagonnets se déplacent ainsi à la même vitesse et parcourent la même distance pour une même durée...

D'où la nécessité d'être précis dans les énoncés... Merci encore...

Posté par
quarkplusre : Des balayeurs 13-06-17 à 10:00

Re bonjour ,
J'ai du mal à admettre même résultat pour 2 situations aussi différentes ...
Je voudrais tracer v(t)  pour les 2 cas .
J'ai repris le cas  du dormeur où je n'aboutis pas à une équation différentielle , plus simple :

m(t)  = m(0)  + t
Ici , conservation de la quantité de mouvement :
m(0) v(0) = m(t)  v(t)
Il vient  
v(t)  = v(0) /  1 +  [t / m(0) ]  .... à tracer

Maintenant , il me faudrait v(t) résolue pour le balayeur , merci .

Posté par
J-Pre : Des balayeurs 13-06-17 à 12:17

Les équations différentielles semblent être les mêmes ...
Mais dans un cas m varie avec t et dans l'autre cas m est constant.

Sauf erreur, je trouve :

v(t) = mo.vo/(mo + µ.t)  (avec le dormeur)

v(t) = vo * e^((-µ/mo)*t) (avec le balayeur)

Posté par
quarkplusre : Des balayeurs 13-06-17 à 13:11

Oui, nous sommes d'accord pour les 2 v (t)  donc , mais pourquoi appelez vous la première équation une équation différentielle  ?

Maintenant les tracés sont différents , la vitesse du dormeur est toujours plus grande que celle du balayeur  . la fonction exponentielle décroît toujours plus vite que la fonction inverse  1/ (1 + At  ) .

Le dormeur va plus loin que le balayeur ( qui dans ce cas balayait latéralement , perpendiculairement au mouvement ) .

Posté par
vanoisere : Des balayeurs 13-06-17 à 14:41

D'accord avec JP ; ma conclusion a été trop rapide.
quarkplus n'a  pas lu mon message du   05-06-17 à 14:17 :
En fait, la résolution de cette équation différentielle est tout à fait inutile : compte tenu de toute les approximations faites, en supposant que la neige tombe verticalement, la conservation du projeté de la quantité de mouvement de l'ensemble {wagonnet neige) sur un axe horizontal orienté suivant la direction et le sens du mouvement conduit directement et simplement à la conservation du produit (masse.vitesse) :

m_{0}\cdot v_{0}=\left(m_{0}+\mu.t\right)\cdot v
On peut toujours trouver une équation différentielle mais sa résolution est inutile.

Posté par
quarkplusre : Des balayeurs 13-06-17 à 14:55

Re,
Oui , mais nous sommes bien d'accord que le dormeur va plus loin ???

Vanoise ,
" les 2 wagonnets  se déplacent ainsi à la même vitesse et parcourent une même distance pour une même durée "  .

Non, je suis reparti pour montrer que non ...

Posté par
vanoisere : Des balayeurs 13-06-17 à 15:46

Je viens d'écrire que je suis d'accord avec la conclusion de JP :   les équations différentielles sont les mêmes dans les deux cas  comme je l'ai démontré mais ma conclusion est erronée :
dans le cas du dormeur : m = mo+µ.t ; dans le cas du balayeur : m = mo.
Maintenant, si on fait un développement limité au deuxième ordre en (µ.t/mo) grandeur non négligeable ici mais certainement très inférieure à 1, cela donne :
Cas du dormeur :

v=\frac{v_{0}}{1+\frac{\mu.t}{m_{0}}}\approx v_{0}.\left(1-\frac{\mu.t}{m_{0}}+\left(\frac{\mu.t}{m_{0}}\right)^{2}\right)
Cas du balayeur :

v=v_{0}.\exp\left(-\frac{\mu.t}{m_{0}}\right)\approx v_{0}.\left(1-\frac{\mu.t}{m_{0}}+\frac{1}{2}\left(\frac{\mu.t}{m_{0}}\right)^{2}\right)
Comme le dit quarkplus, la vitesse du balayeur diminue donc un peu plus vite que celle du dormeur mais l'écart est très faible.
Enfin : ne pas oublier que cela correspond à l'hypothèse d'une vitesse relative d'éjection de la neige perpendiculaire aux rails. S'il me fallait balayer un train de marchandise en marche avec une porte ouverte, je pense qu' effectivement la direction la plus naturelle d'éjection de la poussière correspondrait à une vitesse relative perpendiculaire aux rails. Cependant, lorsque dans un énoncé, on parle de vitesse sans plus de précision, il s'agit en général de la vitesse par rapport à la terre et cet énoncé, intéressant sur le plan théorique, n'a rien de réaliste comme déjà expliqué. Le doute subsiste donc...
Au fait : quarkplus : convaincu maintenant de la nécessité de connaître l'aire du piston dans la presse de Pascal ? ( Principes de Pascal, pression hydrostatique) ? Je n'ai pas eu de retour à mon message du  27-05-17 à 19:44.

Posté par
quarkplusre : Des balayeurs 13-06-17 à 16:12

Hélas !  Si je comprenais tout vite et bien ce serait parfait , mais je ne suis pas prof de physique , juste petit ingénieur CNAM retraité , alors parfois , c'est dur ....


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