Niveau maths sup

Dérivées en mécanique

Posté par
huile 18-04-19 à 18:39

Bonjour, voilà plusieurs jours que je bloque sur un problème, il faut que j'exprime des dérivées mais je n'y arrive pas.
Alors voila :
J'ai déterminé une équation différentielle :
d²r/dt=C²/r³ (t)-gR²/r²(t)
avec C la constante des aires, R le rayon de la terre et r le rayon qui sépare l'objet étudié du centre de la terre.
cette équation devrait être la bonne.
on pose ensuite r'=r/R et t'=t/Tr
il faut que je détermine les dérivées successives de r' par rapport à t' en fonction de celles de r par rapport à t et que j'en déduise l'équation suivante :
d²r'/dt²=C²Tr²/R⁴ * 1/r'³ -gTr²/R * 1/r'²

j'ai pensé que je pouvais décomposer la dérivée c'est à dire écrire
dr'/dt'=dr'/dt * dt/dt'
mais je me retrouve au moment de la dérivée seconde avec une dérivée première par rapport au temps que je ne connais pas et avec d²t/dt'²

pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?
merci

Posté par re : Dérivées en mécanique 18-04-19 à 23:04

Bonsoir

On peux différentier les deux relations fournies :

$dr'=\frac{dr}{R}\quad;\quad dt'=\frac{dt}{T_{r}}$

Ce qui donne :

$\frac{dr'}{dt'}=\frac{T_{r}}{R}\cdot\frac{dr}{dt}$

On dérive maintenant par rapport à t' en tenant compte de ta remarque :

$\frac{d^{2}r'}{dt'^{2}}=\frac{d}{dt'}\left(\frac{T_{r}}{R}\cdot\frac{dr}{dt}\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{T_{r}}{R}\cdot\frac{dr}{dt}\right)\frac{dt}{dt'}=\frac{T_{r}^{2}}{R}\cdot\frac{d^{2}r}{dt^{2}}$

Je te laisse terminer.

Posté par re : Dérivées en mécanique 19-04-19 à 10:17

Merci, tout es clair maintenant.
Merci beaucoup pour votre réponse !

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