Niveau master

dérivée et changement de variable

Posté par
jybb 16-12-22 à 18:42

Bonjour,

J'ai besoin pour un exercice d'effectuer un changement de variable afin de passer de ça :

$\omega_0 dt = \dfrac{1}{2}\dfrac{d\theta}{\sqrt{\sin^2\dfrac{\theta_0}{2} - \sin^2\dfrac{\theta}{2}}}$

à ça :

$\omega_0 dt = \dfrac{d\phi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}$

J'ai trouvé qu'ils le font dans ce PDF : je n'arrive pas à comprendre comment ils font pour passer de :

$k = \sin\left(\dfrac{\theta_0}{2}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) = k\sin\phi$

à

$d\theta = \dfrac{2k\cos\phi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}$ et $\sqrt{\sin^2\dfrac{\theta_0}{2} - \sin^2\dfrac{\theta}{2}} = k\cos\phi$

Or j'en ai besoin pour effecteur le changement de variable dans l'équation (4) au dessus. Je ne vois pas la mécanique de dérivation qu'ils emploient. Si je comprends bien c'est du style "changement de variable" par exemple $x=3\theta$ , $\dfrac{dx}{d\theta}=3$ , $dx = 3d\theta$ , mais je ne comprends pas les étapes du calculs qui ne sont pas explicitées.

Merci d'avance pour votre aide

Posté par re : dérivée et changement de variable 16-12-22 à 19:17

Bonjour
Il s'agit je pense d'obtenir la période des oscillations de grande amplitude d'un pendule. J'ai eu l'occasion de faire la démonstration sur ce document pages 12 et 13, paragraphe III.3.3
Je te laisse adapter car les notations ne sont pas tout à fait les mêmes.

PS : Tu peux t'intéresser à l'ensemble de la partie III.3 mais le reste est largement hors sujet...

Posté par re : dérivée et changement de variable 16-12-22 à 22:27

Bonjour vanoise,

Merci oui c'est effectivement ça, par contre je pense que j'ai une lacune de technique de maths en dérivation, je ne comprends pas bien comment apparaissent les "du" et les " $d\alpha$ " lors de la dérivation dans cette expression (au début de la page 13) :

$\sin\left(\dfrac{\alpha_m}{2}\right)\cos(u)du = \dfrac{1}{2}\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)d\alpha$

la "mécanique" du calcul de dérivation qui fait apparaître les "du" et " $d\alpha$ " m'échappe (alors que je sais dériver en soi)

Posté par re : dérivée et changement de variable 16-12-22 à 23:56

En cours de math, si y=f(x), la différentielle de y (ne pas confondre dérivée et différentielle) est :

$dy=f'(x).dx=\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot dx$

De plus, si deux expressions varient au cours du temps tout en restant constamment égales, la différentielle de l'une est égale à la différentielle de l'autre à chaque instant. Je pars de l'égalité :

$\sin\left(u\right)=\dfrac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\alpha_{m}}{2}\right)}$

et j'écris l'égalité des deux différentielles, en remarquant, dans le calcul de dérivée, que $\alpha_{m}$ est une constante :

$\left[\dfrac{d\left[\frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\alpha_{m}}{2}\right)}\right]}{d\alpha}\right]\cdot d\alpha=\left[\dfrac{d\left[\sin\left(u\right)\right]}{du}\right]\cdot du \\$
soit :

$\dfrac{1}{2.\sin\left(\frac{\alpha_{m}}{2}\right)}\cdot\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cdot d\alpha=\cos\left(u\right)\cdot du$
Pose des questions complémentaires si tu le juges utile.

Posté par re : dérivée et changement de variable 17-12-22 à 17:18

Je suis familier de la différentielle mais je n'avais jamais utilisé de cette manière/dans ce contexte, mais j'ai compris je pense car l'exemple était clair.

J'ai pu suivre le déroulement de la suite calcul dans ton PDF et arriver à mon l'expression voulue, merci beaucoup vanoise !

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