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Déplacement sur une tige mobile.
Bonsoir à tous,
J'ai un exercice qui me pose problème :
Un tige T horizontale passant par O tourne autour de l'axe vertical (Oz) à la vitesse angulaire constante ω. Un point matériel M de masse m peut coulisser sans frottements sur la tige. Il est repéré par ses coordonnées polaires (r,θ) dans le plan (Oxy). A l'instant t=0, le point M est abandonné sans vitesse initiale par rapport à la tige à la distance r0 de l'origine O; on a donc
r(t=0) = r0 et r'(t=0) = 0
On suppose de plus qu'à ce même instant, la tige est confondue avec l'axe (Ox) : θ(t=0) = 0
1. Ecrire le principe fondamental de la dynamique en projection dans la base cylindrique
2. En déduire l'équation différentielle du second ordre vérifiée par r(t).
3. Déterminer la loi horaire r(t) en fonction de r0 et ω. Tracer l'allure de la courbe r(t) pour t ≥ 0.
(J'ai utilisé r' pour dire "r point", c'est à dire la dérivée)
Déjà, pour la première question, je sais que le principe demandé est la 2° loi de Newton, c'est à dire que la somme des forces est égale à
Le problème, c'est que dans ce cas, je ne sais pas vraiment comment déterminer les forces qui s'appliquent ai point matériel M… J'étais tenté de me dire que cette somme des forces était égale au vecteur nul, mais ce n'est pas cohérent pour la suite (je trouve notamment rω = 0).
Ensuite, j'ai pensé au poids bien évidemment, mais je me retrouve confronté à un problème…
Cela implique forcément que
Est-ce que je fais fausse route ? Merci.
Bonjour Sheeft,
je n'ai pas trop le temps la tout de suite de te repondre en details, je le ferai ce soir apres le souper. En attendant voici une piste qui peut t'aider :
Le point M est soumis a deux forces : son poids mg et la reaction R de la tige (je mets en gras les vecteurs, c'est plus rapide). Il n'y a pas de frottement, donc la reaction est perpendiculaire a la tige. Mais elle n'est pas verticale (cad // a Oz), sinon on aurait mg + R = 0 alors que M possede une acceleration. Donc la reaction R est bien contenue dans un plan vertical, normale au vecteur unitaire ur, mais elle a deux composantes : l'une sur Oz qui compense le poids mg, et l'autre sur u
qui est egale a m.a, a etant l'acceleration de M.
Pour continuer, il te faur l'expression de l'acceleration a en coordonnees polaires. C'est un grand classique ! Essaie de la retrouver dans tes cours, elle fait intervenir r, r' et r", ainsi que , ' et " (' pour derivee premiere, " pour derivee seconde). Simplification car ici = 
t, ' = et " = 0.
Je te laisse la car c'est l'heure de mon apero ! A ce soir,
Prbebo.
Bonjour prbebo,
Pour l'expression de , j'avais déjà trouvé
.
Donc, la réaction est dans le plan (Oz, OM) ?
Donc, on sait que la réaction compense le poids parce que, autrement, le point matériel ne resterait pas sur le plan (xOy) n'est-ce pas ? Comment exprimer la résultante de ces forces donc ?
Puisque c'est bien de cette résultante dont je dois me servir pour déterminer r(t) à partir de l'expression de non ?
Merci beaucoup pour votre aide… Les réponses ne se trouvant pas dans mon cours, je suis un peu bloqués avec ces exercices…
Au niveau de la rédaction, je dit que ∑F = ma (avec vos notations), donc P + R = ma soit P + RT + RN = ma
Or, comme M ne change pas d'altitude, RN compense nécessairement P, donc RT = ma. C'est ça ?
Ensuite, je dis que RT est forcément tangentielle au mouvement, et que donc, elle suit uθ ?
Je pose ensuite RT = kuθ ?
Du coup est-ce que je peux dire que la composante dépendant de ur est nulle dans l'expression de a ? Et donc affirmer r" - rω2 = 0 ? (Est-ce l'équation différentielle recherchée ?).
Bonsoir Sheeft,
bravo partout ! A toutes tes questions je reponds oui... heureusement car je m'appretais a te poster une figure representant M, les forces appliquees etc... (long a faire !) mais je vois que ce n'est pas necessaire.
Donc on reprend rapidement :
Dans le referentiel (ur, u, uz) a l'acceleration a l'expression que tu lui as donnee. OK.
Les composantes du poids sont (0, 0, -mg).
Les composantes de R sont (0, RT, RN).
La 2ieme loi de Newton (somme des forces = ma) donne ainsi trois relations :
a) sur ur : r" - r2 = 0 (1) ;
b) sur u : RT = 2mr' (2) ;
c) sur uz : mg = RN (3).
L'equation differentielle demandee est en effet contenue dans la relation (1) : d2r/dt2 = 2r. Je ne sais pas si tu es familiarisee avec les equa. diff., mais la solution de celle-ci est tres connue : c'est une combinaison lineaire de deux exponentielles. On l'ecrit r(t) = A.exp(t) + B.exp(-t). Sa dericee est r'(t) = [A.exp(t) - B.exp(-t)].
Le conditions initiales (r(0) = r0 et r'(0) = 0) permettent de determiner les constantes A et B : on trouve sans difficulte A = B = r0/2.
Si bien que r(t) = r0.[exp(t) + exp(-t)]/2, que l'on peut aussi ecrire r0.ch(t) (ch = cosinus hyperbolique...), et qui fournit r'(t) = r0.[exp(t) - exp(-t)]/2, ou encore r0.sht.
La relation 2 te donne alors la norme de RT, qui augmente avec le temps (fonction sh) et la relation 3 montre que RN est constante.
Tu vois, ce n'etait finalement pas une montagne... si tu as d'autres soucis avec la mecanique, n'hesite pas a poster tesxs ecercices.
Bon courage et a bientot, Prbebo.
D'accord, vraiment merci beaucoup !
En effet, je ne connaissais pas cette équation différentielle, je n'ai d'ailleurs pas vu non plus le cosinus hyperbolique (même si je sais depuis longtemps qu'il existe…).
Merci. J'en posterai peut-être d'autres à l'occasion… Parce qu'à priori, je ne suis pas encore au point.
Au revoir.
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