Il semblerait que l'image de l'énoncé n'ait pas été jointe... Je transcris l'énoncé :

Un point matériel M, de masse m est mobile sans frottement sur une courbe (C) d'équation polaire (cardioïde). En dehors de la réaction exercée par la courbe, ce point est soumis à la force où k est une constante et un vecteur unitaire porté par .
1. Appliquer le théorème de l'énergie cinétique à ce point dans un déplacement élémentaire et démontrer que si v est la vitesse de M sur (C) alors avec (M0 position de M à l'instant origine) et la vitesse de M nulle à l'instant t = 0. En déduire que le point doit nécessairement se déplacer de M0 vers A (plus "bas" que M0 sur le schéma).
2. En déduire l'équation différentielle du mouvement en . En posant [tex]u = sin(/2), établir l'équation différentielle en [u] et la résoudre.
3. Déterminer les extrémités de la trajectoire de M. Montrer que, quel que soit M0, le temps mis par M pour parcourir l'arc M0A est le même.

Ec = F.dr  (produit scalaire et intégrale de Mo à M)

d'où Ec = 2k².m.a..dOM(vecteur)
        = 2k².m.a.dr
        = 2k².m.a.(r-ro)

sachant que Ec = 1/2.m.v² ...

Merci bien, j'avais (bien bêtement) oublié d'intégrer, et involontairement "magouillé" la présence du dOM en dr, ainsi que celle du (r-r0).

Concernant la deuxième question, j'arrive à un système couplé que je ne vois pas comment résoudre :




Avec x'0 et y'0 les vitesses initiales selon x et y. Est-ce moi qui suis mauvais, ou est-il vraiment impossible de résoudre ce système sans plus d'informations ?

Oups, excusez-moi, cette question ne concerne pas cette exercice... oubliez-la. (Il manque vraiment une fonction éditer, sur ce forum )

Mon problème se situe sur la deuxième question de l'exercice un peu plus haut, je ne sais pas vraiment comment faire : j'ai essayé d'utiliser mais je n'aboutis à rien d'intéressant.

pour v², je dirais plutôt : v² = (r.')² + (r'.)²

ensuite let's go ! il faut tout remplacer. Quelques lignes de calcul plus tard, je tombe sur une expression assez simplifié, mais de là à n'avoir plus que du u et ses dérivées ... je te laisse regarder ce que tu obtiens ^^

oups j'ai dit une grosse bétise

v² = (r.')² + r'²  bien sûr !

et donc mon calcul marche comme il faut, je tombe sur : u'² + k².u² = 0
c'est joli hein =)

Pfiou ! J'ai mis un temps fou avant de comprendre que l'expression de la vitesse était donnée par une abscisse curviligne. 'doit être la fatigue ! J'ai essayé de travailler avec cette expression, mais j'arrive à un résultat un peu compliqué, comportant toujours des ²; j'indiquerai demain si j'ai encore un souci. En tous cas, merci beaucoup.

même sans parler d'abscisse curviligne ... tu peux réfléchir en coordonnées polaires ça marche aussi. Calcule du/dt, pour voir ce que tu pourras simplifier. Il faut utiliser les formules trigo

Je n'ai que peu avancé, mais j'ai un peu avancé... et suis toujours bloqué. J'ai pu arriver à cette équation différentielle :

Seulement, elle n'est pas linéaire, et je ne sais pas comment la résoudre. Du coup, je me demande si elle est bonne !

je te l'ai dit, je suis tombé sur u'² + k².u² = 0

Ah, en effet, désolé, je n'avais pas relu le post précédent. Si je mets sous la même forme que toi, il me reste toujours un second membre :

Je ne trouve pas mon erreur, car je ne pense pas que a = r0, étant donné que le point M0 (r0 = OM0) n'est pas placé sur l'axe des abscisses, mais est un point quelconque sur la cardioïde.

mouais ... peu importe c'est un second membre constant au pire.

en effet ce n'est pas linéaire, ça va être compliqué à résoudre ... je sèche un peu à l'heure(ci

Bonjour,

Je trouve


après je dérive de nouveau
2u'.u" + 2.k².u'u =0        =>    u" + k².u =0

La solution générale est  u=Asin(k.t+)



En dérivant l'expression générale et en réinjectant dans l'équation, je trouve la valeur A



Merci de m'indiquer si la solution proposée a été profitable ou si je me suis complétement égarée.

Merci à toi et merci beaucoup à efpe pour toute l'aide apportée jusqu'ici ; j'aurai la correction sous peu, j'indiquerai si cela correspond ou non.

J'ai eu la correction ce matin ; et nous avons effectivement poursuivi l'exercice comme ce que tu as fait Awerdouw, simplement, nous n'avions pas besoin de calculer A ainsi, voici ce que nous avons fait :



Voilà voilà ! Merci encore pour votre aide, je reviendrai sans doute poser quelques questions ici...

Très bien

Pourquoi u'(0) = 0 ?

Vitesse nulle à t=0 donc u'(0)=0

la vitesse de M est nulle à l'instant t=0