Bonsoir
Plutôt bien vu sur le plan théorique ! Je vais essayer de te montrer que cela correspond bien à la réalité physique.
Une telle répartition de courant correspond au courant de fuite d'un condensateur sphérique. C'est une boule parfaitement  conductrice de rayon R1 et de centre O, entourée d'un solide très faiblement conducteur, de conductivité   limité extérieurement par une boule conductrice creuse de même centre 0 et de rayon intérieur R2 (R2>R1). En imaginant un petit trou à travers le conducteur extérieur permettant de relier le conducteur central à la borne + d'un générateur de tension continue, la borne - étant reliée au conducteur externe, tu obtiens dans le solide entre les deux armatures du condensateur un courant d'intensité I, la densité de courant étant radiale à symétrie sphérique. En écrivant que l'intensité du courant est la même à travers toute sphère de centre O et de rayon r, située dans l'isolant, tu obtiens :


Cette expression est tout à fait compatible avec celle que tu a obtenue en raisonnant sur la divergence du vecteur .
Que se passe-t-il maintenant si R1 tend vers zéro ?
Je vois deux raisonnement qui, heureusement, conduisent à la même conclusion.
1° : faire tendre R1 vers zéro revient à supprimer l'armature centrale. Le conducteur de conductivité est alors à l'intérieur du conducteur parfait qui formait l'armature extérieure. Tu as montré en cours que le champ électrique à l'intérieur d'un conducteur parfait est nul en régime permanent : j=E= 0 !
2° : tu as sans doute démontré que la résistance de fuite de ton condensateur a pour expression :


Faire tendre R1 vers zéro fait tendre la résistance électrique vers l'infini donc l'intensité du courant tend vers zéro !
Conclusion : une densité de courant radiale, non nulle et à symétrie sphérique,  n'est  possible que pour r compris entre R1 et R2, cette densité devenant nulle si R1 tend vers zéro.

Merci pour cette réponse si développée ! J'ai tout de même un problème, je ne vois pas comment on peut faire arriver la notion de conducteur parfait ici... Enfin, j'ai peut-être une idée, mais ça me paraît tordu.
Dans l'équation de conservation de la charge, on a, si on remplace avec la loi d'Ohm locale ainsi que l'équation de Maxwell-Gauss, , et donc . Or, en régime stationnaire, , et donc (c'est ici que ça commence à me paraître bizarre), et on ne peut avoir une valeur de nulle que si tend vers + l'infini, ce qui caractérise un conducteur parfait ?

Les conducteurs "parfaits" n'interviennent ici que comme "armatures" du condensateur ou, si tu préfères, "électrodes" vis à vis du conducteur étudié qui est situé entre ces deux armatures et qui, lui, a une conductivité ni nulle ni infinie.