Niveau école ingénieur

Démonstration du laplacien en coordonnées cylindrique

Posté par
reisen 22-01-20 à 12:21

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour la démonstration du laplacien en coordonnées cylindriques. Mais je ne sais pas comment commencer. Si quelqu'un a une méthode. En fouillant un peu sur le net j'ai trouvé ceci f = $\frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r} \left(r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial \theta^{ 2}} + \frac{\partial^{2} f }{\partial z^{2}}$ mais je ne sais pas d'où sort le r dans la parenthèses. Merci

Posté par re : Démonstration du laplacien en coordonnées cylindrique 22-01-20 à 12:34

Bonjour,

Une méthode possible : utiliser la définition du laplacien : $div(\vec{grad}(f) )$ et les expressions de la divergence et du gradient en cylindrique.

Posté par re : Démonstration du laplacien en coordonnées cylindrique 22-01-20 à 15:03

Merci. J'ai trouvé en fait il suffit de trouver $\vec{grad}$ f puis de faire $\vec{nabla}.\vec{grad} f$ et de faire ce produit scalaire en utilisant la forme $\vec{nabla}.\vec{grad}f = \vec{u_{r}} \frac{\partial }{\partial r} . \left( \frac{\partial f}{\partial r} \vec{u_{r}} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta } \vec{u_{\theta}} + \frac{\partial f}{\partial z}\vec{u_{z}} \right) + \frac{1}{r}\vec{u_{\theta}} \frac{\partial }{\partial r} . \left( \frac{\partial f}{\partial r} \vec{u_{r}} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta } \vec{u_{\theta}} + \frac{\partial f}{\partial z}\vec{u_{z}} \right) + \vec{u_{z}} \frac{\partial }{\partial r} . \left( \frac{\partial f}{\partial r} \vec{u_{r}} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta } \vec{u_{\theta}} + \frac{\partial f}{\partial z}\vec{u_{z}} \right)$
A partir de là on derive juste et on sait que
$\vec{u_{i}}.\vec{u_{i}} = 1 et \vec{u_{i}}.\vec{u_{j}} = 0$ et $\frac{\partial \vec{u_{r}} }{\partial \theta} = \vec{u_{\theta}} et \frac{\partial \vec{u_{\theta}} }{\partial \theta} = -\vec{u_{r}}$
Et là on derive et on trouve la réponse.

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