C'est mathématiquement sans problème en tenant compte que e^(jwt) = cos(wt) + j.sin(wt)

et en multipliant numérateur et dénominateur par [-w²+k/m - j.lambda.w/m]

Sauf distraction  

Merci de votre réponse,

mais en procédant de cette manière j'obtiens des ⁴. On ne peut pas obtenir une expression plus simple??

On vous demande de trouver une condition sur les constantes d'intégration pour que la partie imaginaire soit nulle. Quelle est la constante d'intégration ?
Ensuite dans la partie réelle vous remplacez la constante par l'espression trouvée et vous simplifiez si possible.

D'autre part, existe-t-il une relation entre , k et m ?

En fait on a des oscillations Z(t)=Zo cos(wt)
Donc pas de relation avec w.

léquation différentielle est

e''(t)+/m e'(t)+k/m e(t)=Zow²cso(wt)

Dans ce cas-là il s'agit d'une masse m fixée à l'aide d'un ressort de raideur k sur un dispositif avec amortissement fluide, le tout étant soumis à des oscillations forcées horizontales d'amplitude Z(t)... et donc vous avez raison, la partie réelle de ce que vous avez trouvé est bien une solution. Cependant ce n'est pas la seule solution. Il faut trouver la solution générale si vous voulez être capable de choisir les conditions aux limites.

Hors contexte, on ne peut rien affirmer.

Mais il est probable que ce qui est attendu est le régime établi ... donc hors transitoires dus aux conditions initiales.
Si c'est le cas, l'approche donnée dans la question est suffisante.