Niveau école ingénieur

Decollage de la fusée ariane 5 exercice type bac

Posté par
SekriiM 02-01-17 à 12:13

La fusée a une masse a vide de 100 tonnes et contient au décollage environ 1000 tonnes de combustibles ,soit une masse totale M=1100 tonnes
La combustion permet à la fusée d'éjecter des gaz a une vitesse
constante de la valeur u=5000m.s-1

1) principe de fonctionnement
a) pourquoi l'énoncé précise t-il que 1000 tonnes est la masse de combustible au décollage ?

b) Quelle est la conséquence d'éjection de ces gaz sur le mouvement de la fusée ?
.
c) pourquoi existe t-il une altitude maximale au delà de laquelle la fusée ne peut aller ?
.

2) étude simplifiée du mouvement
A une date t , on note m(t) la masse de la fusée et du combustible qu'elle contient
La vitesse de la fusée est v(t) et celle des gaz éjectés g(t) = (t) +
(les gaz étant en mouvement par rapport a la fusée , la vitesse des gaz est différente de celle de la fusée). La pesanteur ainsi que les frottements de l'air sur la fusée sont négligés dans cette partie.
a)quelle est la masse mg(t) des gaz éjectés?
b)exprimer la quantité de mouvement de la fusée à une date t.
c) exprimer également celle des gaz éjectés.

d) en déduire la quantité de mouvement p(t) de l'ensemble constitué de la fusée et des gazs éjectés.
que peut on dire de cette quantité de mouvement ?
e) en dérivent la quantité de mouvement par rapport au temps montrer que le résultat précédent s'écrit aussi:
M*(d/dt) = (-dmg/dt) *

f)On définit le débit massique d'jection par Dm=dmg/dt .
Quel est le signe de Dm ?
g)On appelle force de poussée F = (-dmg/dt)*
vérifier que l'expression est bien homogène à une force .
Quelle est l'orientation de cette force?

3) Etude plus réaliste
Le poids de la fusée n'est en réalité pas négligeable par rapport à la force de poussée due à l'ejection des gaz.
a)L'expression de la quantité de mouvement de l'ensemble constitué de la fusée et des gaz éjectés est-elle différente de celle de la partie précédente ?
Qu'est-ce qui change par rapport au cas précédent ?
b) Ecrire la 2e loi de Newton pour me système {fusée + gaz} .
Montrer que la nouvelle équation du mouvement est : M(d/dt)=Mg - Dm
c) Quel débit massique d'éjection minimal permet le décollage de la fusée ?
d)Ce débit est constant pendant toute la phase de décollage .Calculer la durée T du décollage dans le cas du débit minimal.

J'ai du mal à répondre a partir de la question 2) f.
(C'est un sujet de bac de terminale s)

Merci pour ceux qui pourraient m'aider

Posté par re : Decollage de la fusée ariane 5 exercice type bac 02-01-17 à 15:01

Bonjour

Citation :
C'est un sujet de bac de terminale s

Peut-être mais alors, pas en France où alors : il y a bien longtemps.
Noter g la vitesse des gaz éjectés alors qu'en fin de problème on fait intervenir la pesanteur : franchement... Certaines des notations que tu reproduis ne mes semblent pas correctes...
Je noterai donc Ve la vitesse d'éjection des gaz c'est à dire la vitesse de sortie des gaz mesurée dans un repère lié à la fusée.
Je raisonne dans un repère lié à la terre, donc supposé galiléen.
À la date t, la masse de la fusée est m et sa vitesse par rapport à la terre est v. Sa quantité de mouvement est ainsi à la date t :

$\overrightarrow{p}=m.\overrightarrow{v}$
À la date t+dt, la masse m précédente s'est coupée en deux parties :
1° : la fusée dont la masse a diminué à cause des gaz éjectés ; sa masse est $\left(m-D_{m}.dt\right)$ et sa vitesse est $\left(\overrightarrow{v}+d\overrightarrow{v}\right)$ . Sa quantité de mouvement est :

$\left(m-D_{m}.dt\right)\cdot\left(\overrightarrow{v}+d\overrightarrow{v}\right)$
2° : les gaz éjectés de masse $D_{m}.dt$ dont la vitesse par rapport à la terre est : $\left(\overrightarrow{V_{e}}+\overrightarrow{v}+d\overrightarrow{v}\right)$ (relation de composition des vitesses). Leur quantité de mouvement est :

$\left(\overrightarrow{V_{e}}+\overrightarrow{v}+d\overrightarrow{v}\right)\cdot D_{m}.dt$
Soit F la résultante des forces appliquées à la masse m (poids, résistance de l'air...). La seconde loi de Newton pour un tel système s'écrit :

$\overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}$
où $d\overrightarrow{p}$ désigne la variation de quantité de mouvement entre t et (t+dt) :

$d\overrightarrow{p}=\left(m-D_{m}.dt\right)\cdot\left(\overrightarrow{v}+d\overrightarrow{v}\right)+\left(\overrightarrow{V_{e}}+\overrightarrow{v}+d\overrightarrow{v}\right)\cdot D_{m}.dt-m.\overrightarrow{v}=m.d\overrightarrow{v}+\overrightarrow{V_{e}}\cdot D_{m}\cdot dt \\$
En reportant au-dessus :

$\overrightarrow{F}=m\cdot\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}+D_{m}\cdot\overrightarrow{V_{e}}$

$\boxed{m\cdot\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\overrightarrow{F}-D_{m}\cdot\overrightarrow{V_{e}}}$

Le produit masse . accélération de la fusée se calcule donc comme si, aux forces extérieures réellement appliquées, se superposait une force $\overrightarrow{F_{p}}=-D_{m}\cdot\overrightarrow{V_{e}}$ ; ce terme complémentaire est appelé « force de poussée ».

La suite est facile... Il suffit, pour les dernières questions de poser : $\overrightarrow{F}=m\cdot\overrightarrow{g}$ .

Je te laisse réfléchir à tout cela ; pose si nécessaire d'autres questions. Je n'ai pas l'habitude de fournir un « corrigé » ainsi mais là, les notations étaient vraiment trop...

Posté par re : Decollage de la fusée ariane 5 exercice type bac 02-01-17 à 18:51

Merci bien mais vous parlez de quelle notation ?

Posté par re : Decollage de la fusée ariane 5 exercice type bac 02-01-17 à 19:33

Je pensais à des phrases telles que celles-ci :
La vitesse de la fusée est v(t) et celle des gaz éjectés g(t) = (t) +
quelle est la masse mg(t) des gaz éjectés?
M*(d/dt) = (-dmg/dt) *
Montrer que la nouvelle équation du mouvement est : M(d/dt)=Mg - Dm
Mais entre l'énoncé original, des éventuelles erreurs de retranscription de ta part, peut-être aussi un début de solution de ta part, j'ai peut-être fait quelques confusions...
Bref, devant tout cela, j'ai préféré faire quelque chose de cohérent (du moins je l'espère) en utilisant mes propres notations, sans nécessairement respecter l'ordre des questions posées. L'essentiel est que tu comprennes comment on obtient l'expression de la force de poussée. Ensuite tu pourras adapter...

Posté par re : Decollage de la fusée ariane 5 exercice type bac 02-01-17 à 22:09

Très bien merci et pourriez vous m'aider pour la partie 3 surtout la b svp

Posté par re : Decollage de la fusée ariane 5 exercice type bac 02-01-17 à 23:29

Une fois trouvée l'expression de la force de poussée, le plus dur est fait ! En prenant comme seule force extérieure la force de pesanteur, la relation établie précédemment s'écrit :

$m\cdot\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=m.\overrightarrow{g}-D_{m}\cdot\overrightarrow{V_{e}}\;\;soit\quad\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\overrightarrow{g}-\frac{D_{m}\cdot\overrightarrow{V_{e}}}{m}$
En projetant sur un axe vertical ascendant, les lettres désignant les normes des vecteurs :

$\frac{dv}{dt}=\frac{D_{m}\cdot V_{e}}{m}-g$
À la date t = 0, m=M=11.10⁵kg ; Ve=u=5.10³m/s ; g = 9.81m/s².
Pour que la fusée décole à cette date, il faut : $\frac{dv}{dt}>0$ .
Facile d'en déduire le débit massique minimum.
Ensuite, sachant que la masse de gaz à éjecter est égale à 10⁶kg et que le débit massique est fixe, facile aussi d'en déduire la durée de la poussée des gaz...
C'est la suite qui pourrait être vraiment intéressante et du niveau enseignement supérieur : expression de v en fonction de t, expression de l'altitude z en fonction de t...

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