Niveau maths sup

Cycloïde

Posté par
geronimo 652 04-10-09 à 19:27

bonsoir à tous,

j'ai un problème avec cet exo:
On se place dans un référentiel R(O,Ox,Oy,Oz)
Une roue circulaire de centre C, de rayon R, roule sans glisser sur Ox horizontal en restantdans le plan vertical (xOy).
A t=0, le point O coïncide avec le point dit A de la roue. C a un mouvement rectiligne uniforme de vitesse $\vec{v_0}=v_0\vec{u_x}$
1) Déterminer les coordonnées de A à t

j'ai visité quelques sites sur le sujet mais je ne vois comment faire ici pour trouvé mes coordonnées...
Si quelqu'un peut m'aider, son aide sera la bienvenue...
merci d'avance
gero

Posté par re : Cycloïde 04-10-09 à 19:30

J'ai trouvé sur wiki cette relation:
x(t)=R(t-sint)
y(t)=R(1-cost)
mais comment les démontrer?

Posté par re : Cycloïde 04-10-09 à 19:37

Bonsoir,
Je dirais :
= v₀/R
y_A= R (1+sint)
Et
x_A = v₀t + R cos t

sauf erreur éventuelle...

Qu'en penses-tu ?

Posté par re : Cycloïde 04-10-09 à 19:53

pourquoi $3$\omega=\frac{v_0}{R}$ ?

et comment faire pour trouver les relations d'après?

Posté par re : Cycloïde 04-10-09 à 19:54

ça se démontre ou ces formules sont à apprendre?

Posté par re : Cycloïde 05-10-09 à 00:03

$v\,=\,\omega\,R$ , c'est une formule de physique. On doit voir ça en terminale sauf erreur.
Les autres formules se démontrent.

Posté par re : Cycloïde 05-10-09 à 13:33

$v\,=\,\omega\,R$ ==> v est la vitesse tangentielle, R est le rayon, est la vitesse angulaire
Mais là, il faut relier la vitesse du centre de la roue à la vitesse angulaire.
Si la roue parcourt une distance l, on a l = 2R n
n étant le nombre de tours
La vitesse   $v_0\,=\,\frac{dl}{dt}\,=\,2\pi R\,\frac{dn}{dt}\,=\,2\pi R\omega$
D'où :   $\omega\,=\,\frac{v_0}{2\pi R}$
L'équation du cercle en coordonnées polaires est :
$x\,=\,x_0\,+\,R\,cos\theta$
$y\,=\,y_0\,+\,R\,sin\theta$
parce qu'on obtient : $(x-x_0)^2\,+\,(y-y_0)^2\,=\,R^2$   qui est l'équation d'un cercle.
Ici, les coordonnées du centre sont :
$x_0\,=\,v_0t$
$y_0\,=\,R$
$\theta\,=\,\omega t$
D'où :
$x\,=\,v_0t\,+\,R\,cos\omega t$
$y\,=\,R\,+\,R\,sin\omega t\,=\,R(1+sin\omega t)$
Le point A a pour coordonnées (0;0) à t=0.
Donc :
$x_A\,=\,v_0t\,+\,R\,cos(\omega t\,-\,\frac{\pi}{2})$
$y_A\,=\,R\,+\,R\,sin(\omega t\,-\,\frac{\pi}{2})\,=\,R\,\big(1\,+\,sin(\omega t\,-\,\frac{\pi}{2})\big)$
A t = 0, on a bien x_A = 0 et y_A = 0.