Bonjour !

Voici un DM qui me pose quelques problèmes. Si quelqu'un pouvait m'aider

Merci d'avance



I Cycle moteur [Véto 2001]


Un moteur ditherme fonctionne entre deux thermostats selon un cycle constitué de deux transformations adiabatiques réversibles et de deux transformations isochores. Les températures des thermostats sont 𝑇FR (source froide) et 𝑇CH (source chaude) avec 𝑇FR < 𝑇CH. Le cycle est décrit par 𝑛 moles de gaz supposé parfait de capacité thermique molaire à volume constant 𝐶𝑉 𝑚 constante. Pour ce gaz,le rapport 𝛾 de la capacité thermique molaire à pression constante 𝐶𝑃𝑚 et de 𝐶𝑉 𝑚 est égal à 1,4. Les différentes transformations du cycle sont :
- 𝐴 → 𝐵 : compression adiabatique réversible de durée Δ𝑡 ;
- 𝐵 → 𝐶 : compression isochore par contact du gaz avec la source chaude par l'intermédiaire des parois du cylindre qui le contient pendant une durée Δ𝑡1 ;
- 𝐶 → 𝐷 : détente adiabatique r´réversible de durée Δ𝑡 ;
- 𝐷 → 𝐴 : détente isochore par contact du gaz avec la source froide par l'intermédiaire des parois du cylindre qui le contient pendant une durée Δ𝑡2.
On ne tiendra pas compte de la capacité thermique du cylindre contenant le gaz. Chaque grandeur pression 𝑃, volume 𝑉 et température 𝑇 du gaz en un point du cycle sera indiquée par la lettre de ce point.
On notera 𝛼 le rapport volumétrique
𝑉𝐴/𝑉𝐵 = 𝑉𝐷/𝑉𝐶 = 𝛼.
Données : 𝑇FR = 350 𝐾 ; 𝑇CH = 1 100 𝐾 ; 𝛼 = 10.
Constante des gaz parfaits : 𝑅 = 8, 314 𝐽.𝐾−1.𝑚𝑜𝑙−1 ; 𝑛 = 0, 05 𝑚𝑜𝑙.
Δ𝑡 = 1, 00.10−2 𝑠 ; Δ𝑡1 = 4, 43.10−2 𝑠 ; Δ𝑡2 = 3, 45.10−2 𝑠.
1) Établir la relation de Mayer. En déduire les expressions de 𝐶𝑉 𝑚 et 𝐶𝑃𝑚 en fonction de 𝑅 et de 𝛾.
A.N. : calculer 𝐶𝑃𝑚 et 𝐶𝑉 𝑚.
2) Montrer que pour une transformation isentropique réversible d'un gaz parfait de rapport 𝛾 constant, on a la relation 𝑃𝑉 𝛾 = Cte.En déduire l'expression littérale de 𝑇𝐵 en fonction de 𝑇𝐴, 𝛼 et 𝛾, ainsi que celle de 𝑇𝐷 en fonction de 𝑇𝐶, 𝛼 et 𝛾.
A.N. : calculer 𝑇𝐵 et 𝑇𝐷 sachant que 𝑇𝐴 = 390 𝐾 et 𝑇𝐶 = 1000 𝐾.

3) Déterminer, en fonction de 𝑛, 𝑅, 𝑇𝐴, 𝑇𝐶, 𝛼 et 𝛾, les expressions littérales :
- du transfert thermique 𝑄𝐶 reçu par le gaz, pendant la durée du cycle, de la part de la source chaude ;
- du transfert thermique 𝑄𝐹 reçu par le gaz, pendant la durée du cycle, de la part de la source froide.
A.N. : calculer 𝑄𝐶 et 𝑄𝐹 .
4) Déterminer, en fonction de 𝑛, 𝑅, 𝑇𝐴, 𝑇𝐶, 𝛼 et 𝛾, l'expression littérale du travail 𝑊 reçu par le gaz pendant la durée d'un cycle. Quelle est la puissance moyenne 𝒫 de ce moteur ?
A.N. : calculer 𝑊 et 𝒫.
5) Définir le rendement 𝜂 de ce cycle moteur. Déterminer l'expression littérale de 𝜂 en fonction
uniquement de 𝛼 et de 𝛾.
A.N. : calculer 𝜂.
6) Démontrer l'expression littérale de la valeur maximale 𝜂max du rendement prévue par le théorème de Carnot ?
A.N. : calculer 𝜂max. Comparer 𝜂 et 𝜂max. Que peut-on en conclure ?
7) Déterminer, en fonction de 𝑛, 𝑅, 𝑇𝐴, 𝑇𝐶, 𝛼 et 𝛾, les expressions littérales Δ𝑆𝐴𝐵, Δ𝑆𝐵𝐶, Δ𝑆𝐶𝐷 et Δ𝑆𝐷𝐴, de la variation d'entropie du gaz pour les quatre transformations du cycle.
A.N. : calculer Δ𝑆𝐷𝐴 et Δ𝑆𝐵𝐶.
8) Quelle est la variation d'entropie du gaz au cours d'un cycle ?
9) Déterminer, en fonction de 𝑛, 𝑅, 𝑇𝐴, 𝑇𝐶, 𝑇CH, 𝛼 et 𝛾, la variation d'entropie Δ𝑆CH de la source chaude.
A.N. : calculer Δ𝑆CH.
10) Déterminer, en fonction de 𝑛, 𝑅, 𝑇𝐴, 𝑇𝐶, 𝑇FR, 𝛼 et 𝛾, la variation d'entropie Δ𝑆FR de la
source froide.
A.N. : calculer Δ𝑆FR.
11) Quelle est la variation d'entropie Δ𝑆∞, au cours d'un cycle, du système constitué de l'ensemble des sources de chaleur et du gaz ?
A.N. : calculer Δ𝑆∞. Commenter le résultat.
12) Que les transferts thermiques aient lieu avec l'une ou l'autre des sources, on suppose que, à partir de l'instant 𝑡 et pendant une durée infinitésimale d𝑡, ils sont de la forme : 𝛿𝑄𝐶 = 𝜆(𝑇CH − 𝑇(𝑡)).d𝑡 au cours de la transformation 𝐵 → 𝐶, 𝛿𝑄𝐹 = 𝜆(𝑇FR − 𝑇(𝑡)).d𝑡 au cours de la transformation 𝐷 → 𝐴
𝑇(𝑡) étant la température du gaz, supposée uniforme, à la date 𝑡 et 𝜆 une constante positive.
On prendra 𝜆 = 4, 5 𝑢𝑆𝐼.
12.a) Quelle est l'unité de 𝜆, exprimée en fonction des unités de travail, de température et de temps du système international ?
12.b) Quelle est l'unit´e de 𝜆, exprimée en fonction des unit´es fondamentales du système international ?
13) On pose 𝜏 = 𝑛𝐶𝑉𝑚/𝜆
Déterminer la relation entre 𝑇FR, 𝑇𝐴, 𝑇𝐷, 𝜏 et Δ𝑡2.
Quelle est l'unité fondamentale de 𝜏 ? Que représente 𝜏 ?
14) Déterminer la relation entre 𝑇CH, 𝑇𝐵, 𝑇𝐶, 𝜏 et Δ𝑡1.
15) Déterminer les valeurs limites 𝑇𝐴,lim et 𝑇𝐶,lim de 𝑇𝐴 et 𝑇𝐶 lorsque Δ𝑡1 et Δ𝑡2 tendent vers
l'infini.