Niveau licence

Crochet de Poisson

Posté par
GranH 22-05-18 à 16:41

Bonjour,

dans un exercice on me demande de démontrer que $\left\{J_{i} , J_{j}\right\} = \varepsilon _{ijk} J_{k}$ . Avec J le moment cinétique q^p et j'utilise comme définition :
$\left\{J_{i},J_{j} \right\}=\frac{\partial J_{i}}{\partial q_{\alpha }}\frac{\partial J_{j}}{\partial p_{\alpha }}-\frac{\partial J_{i}}{\partial p_{\alpha }}\frac{\partial J_{j}}{\partial q_{\alpha }}$

Voici ce que j'obtiens :

$\left\{J_{i},J_{j} \right\} = \varepsilon _{imn}\delta _{m\alpha }p_{n}\varepsilon _{jkl}q_{k}\delta _{l\alpha } - \varepsilon _{imn}q_{m}\delta _{n\alpha }\varepsilon _{jkl}p_{l}\delta _{k\alpha }$

D'où :

$\left\{J_{i},J_{j} \right\} = \varepsilon _{i\alpha n}\varepsilon _{jk\alpha }p_{n}q_{k}-\varepsilon _{im\alpha }\varepsilon _{j\alpha l}q_{m}p_{l}$

$= (\delta _{ik}\delta _{nj}-\delta _{ij}\delta_{nk})p_{n}q_{k} -(\delta _{il}\delta _{mj}-\delta _{ij}\delta _{ml}) q_{m}p_{l}$

J'essaie alors d'avoir le plus d'indice qui correspondent soit :

$= p_{j}q_{i}-\delta _{ij}p_{k}q_{k} -p_{i}q_{j} +\delta _{ij}q_{l}p_{l}$

Je suis ainsi bloqué car j'ai l'impression de ne rien pouvoir faire de plus.. Pourriez vous svp m'éclairez ?
Merci d'avance de vos réponses
Cordialement.

Posté par re : Crochet de Poisson 24-05-18 à 10:40

Posté par re : Crochet de Poisson 24-05-18 à 10:50

Hello

Avec un peu de retard ...

1) L'expression $\left\{J_{i},J_{j} \right\} = \varepsilon _{imn}\delta _{m\alpha }p_{n}\varepsilon _{jkl}q_{k}\delta _{l\alpha } - \varepsilon _{imn}q_{m}\delta _{n\alpha }\varepsilon _{jkl}p_{l}\delta _{k\alpha }$ me laisse un peu perplexe. C'est en fait ta logique de dénomination des indices qui m'échappe.

2) En essayant de normaliser les indices, j'obtiendrais comme premier résultat intermédiaire:

$\left\{J_{i},J_{j} \right\} = \Sigma_{j',k'} \Sigma_{k'',i''} \varepsilon_{ij'k'} \varepsilon_{k''i''j} ( \delta_{j'i''} q_{k''} p_{k'} - \delta_{k'k''} q_{j'} p_{i''})$

Soit en reprenant ce crois être ta règle syntaxique:

$\left\{J_{i},J_{j} \right\} = \varepsilon_{imn} \varepsilon_{klj} ( \delta_{ml} q_{k} p_{n} - \delta_{nk} q_{m} p_{l})$

Posté par re : Crochet de Poisson 24-05-18 à 11:32

Bonjour et merci de votre réponse.

J'ai utiliser comme indices $J_{i}=\varepsilon _{imn}q_{m}p_{n}$ et $J_{j}=\varepsilon _{jkl}q_{k}p_{l}$ .

Je suis reparti de l'étape que vous m'avez indiqué et je retombe sur l'expression que j'avais :

$p_{j}q_{i}-\delta _{ij}p_{k}q_{k} -p_{i}q_{j} +\delta _{ij}q_{l}p_{l}$

Ayant eu le temps de plus y réfléchir, j'ai peut être une solution :
Etant donné le $\delta _{ij}$ dans cette expression cela impliquerais que les termes concernés sont différents de 0 uniquement si $J_{i}=J_{j}$ donc je pourrais écrire que $p_{k}q_{k}=p_{l}q_{l}$ .

Ainsi j'ai $p_{j}q_{i} -p_{i}q_{j}$
$p_{j}q_{i} -p_{i}q_{j} = (\delta_{im}\delta _{jn}-\delta _{in}\delta _{jm})q_{m}p_{n}$

$=\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{kmn}q_{m}p_{n}=\varepsilon _{ijk}J_{k}$

Est ce correct ? Et surtout mon explication pour $p_{k}q_{k}=p_{l}q_{l}$ est elle cohérente et juste ?

Merci d'avance.

Posté par re : Crochet de Poisson 24-05-18 à 13:44

Euh le Ji = Jj  (qui implique un Crochet de Poisson nul devrait te faire tiquer ...)

Je vais reprendre mes notations et poursuivre en "tranchant fin" et en rétablissant les signes de sommation (dont j'ai du mal à me passer dans ce problème, mais ces calculs ne sont pas mon quotidien ). On verra où ça coince:

$\left\{J_{i},J_{j} \right\} = \Sigma_{j',k'} \Sigma_{k'',i''} \varepsilon_{ij'k'} \varepsilon_{k''i''j} ( \delta_{j'i''} q_{k''} p_{k'} - \delta_{k'k''} q_{j'} p_{i''})$

Avec $\delta_{\alpha\beta} = 0$   si   $\alpha \ne \beta$ cela donne:

$\left\{J_{i},J_{j} \right\} = \Sigma_{j',k'}  \varepsilon_{ij'k'}  \Sigma_{k''}   \varepsilon_{k''j'j}   q_{k''} p_{k'}  -  \Sigma_{j',k'}  \varepsilon_{ij'k'}  \Sigma_{i''}   \varepsilon_{k'i''j}   q_{j'} p_{i''}$

Dans le premier terme on permute les variables j' et k'', dans le second terme on permute les variables k' et i"  (tu auras deviner que l'on veut factoriser qj'.pk' )

On obtient alors:

$\left\{J_{i},J_{j} \right\} = \Sigma_{j',k',k''}  \varepsilon_{ik''k'}  \varepsilon_{j'k''j}   q_{j'} p_{k'}  -  \Sigma_{j',k',i''}  \varepsilon_{ij'i''}   \varepsilon_{i''k'j}   q_{j'} p_{k'}$

On factorise et remplace les indices k'' et i'' par un même indice, disons i':

$\left\{J_{i},J_{j} \right\} = \Sigma_{j',k'}  q_{j'} p_{k'}  \Sigma_{i'}( \varepsilon_{ii'k'}  \varepsilon_{j'i'j}   -    \varepsilon_{ij'i'}   \varepsilon_{i'k'j} )$

A toi  de conclure?

Posté par re : Crochet de Poisson 24-05-18 à 15:19

En effet, en développant la dernière expression je retombe bien sur
$q_{i}p_{j}-q_{j}p_{i}$
Donc à partir de là, avec la méthode que j'utilise dans mon deuxième post j'arrive bien à la bonne conclusion.

Cependant, je ne comprend pas bien pourquoi nous pouvons permuter les indices j' et k" et par la suite carrément remplacer k" et i" par un même indice..

Le symbole de levi-civita est nouveau pour moi et je n'en saisi par encore toute les notions, mais on nous encourage à l'utiliser car il est apparemment très utile.

Merci

Posté par re : Crochet de Poisson 25-05-18 à 10:56

Ton post e 11:32 hier me laisse tjrs un peu perplexe:

Je ne comprends pas le sens de cette proposition:

Citation :
Etant donné le $\delta _{ij}$ dans cette expression cela impliquerais que les termes concernés sont différents de 0 uniquement si $J_{i}=J_{j}$ donc je pourrais écrire que $p_{k}q_{k}=p_{l}q_{l}$ .

1) pour i different de j on obtient bien le résultat attendu
2) pour i = j on retrouve bien une valeur nulle du crochet (je suppose l'existence de sommes sur les qp indices l et k / comme indiqué hier la suppression de signes sommes n'est pas si triviale)

Pour revenir à ton dernier post:

- les indices ' et '' sont "interchangeables" car prennent dans les sommes successivement les mêmes valeurs i, j et k
- enfin, je t'engage également à exploiter les propriétés du symbole de Levi-Civita pour démonter le résultat attendu depuis

$\left\{J_{i},J_{j} \right\} = \Sigma_{j',k'} q_{j'} p_{k'} \Sigma_{i'}( \varepsilon_{ii'k'} \varepsilon_{j'i'j} - \varepsilon_{ij'i'} \varepsilon_{i'k'j} )$

Posté par re : Crochet de Poisson 26-05-18 à 23:54

Soit :
$\left\{J_{i},J_{j} \right\}= \Sigma_{j',k'}q_{j'} p_{k'} \Sigma_{i'}( \varepsilon_{ii'k'}\varepsilon_{j'i'j}-\varepsilon_{ij'i'} \varepsilon_{i'k'j})$

Alors $\Sigma_{i'}( \varepsilon_{ii'k'}\varepsilon_{j'i'j}-\varepsilon_{ij'i'} \varepsilon_{i'k'j})=\sum{}_{i'}( \delta _{ij'}\delta _{k'j}-\delta _{ij}\delta _{k'j'} -\delta _{ik'}\delta _{j'j}+\delta _{ij}\delta _{j'k'})$
Donc $=\sum{}_{i'}\Sigma_{j',k'}q_{j'} p_{k'}( \delta _{ij'}\delta _{k'j} -\delta _{ik'}\delta _{j'j})=\Sigma_{j',k'}(q_{i} p_{j}-q_{j} p_{i})$

D'où

$\Sigma_{j',k'}q_{j'} p_{k'}( \delta _{ij'}\delta _{k'j} -\delta _{ik'}\delta _{j'j})=\Sigma_{j',k'}(q_{i} p_{j}-q_{j} p_{i})$

Et donc avec la méthode que j'ai écris donc mon deuxième post je retrouve la bonne expression à partir de là !

Je vous remercie de votre aide !!

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