Niveau licence

Courbes gauches

Posté par
Raemino 01-03-15 à 13:12

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour mon exercice de mécanique svp !

I) $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$   étant une base orthonormale positive fixe, on pose

$\vec{u} = cos\psi\vec{i} + sin\psi\vec{j}$ , $\vec{v} = \frac{d\vec{u}}{d\psi}$

Vérifier que $-\vec{u} = \frac{d\vec{v}}{d\psi}$     et que le repère $(O, \vec{u}, \vec{v}, \vec{k})$    est orthonormal positif

1) Soit (C) la courbe de représentation paramétrique : $\vec{OM} = a\vec{u} + b\psi\vec{k}$   où a et b sont deux constantes positives et  le paramètre.
Soit $(M, \vec{t}, \vec{n}, \vec{b})$    le repère de Frénet au point M.

a) Représenter graphiquement (C)
b) Calculer le vecteur $\vec{t}$   en fonction des vecteurs $\vec{v}$   et $\vec{k}$ . On pose $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
c) Montrer que $\vec{t} . \vec{k} = cos\alpha$
d) En déduire $\vec{t}$   en fonction de $\alpha$ , $\vec{v}$ , $\vec{k}$ .
e) Quelle est l'indicatrice sphérique ?

2) Calculer $\frac{d\vec{t}}{ds}$ . En déduire $\vec{n}$   en fonction de $\vec{u}$   et $\frac{1}{R}$ en fonction de $\alpha$   et c

3) Calculer les vecteurs $\vec{b}$ et $\frac{d\vec{n}}{ds}$   ; en déduire $\frac{1}{T}$   et vérifier que $\frac{T}{R}$   est une fonction de \alpha

II) Avec les mêmes notations on définit $\vec{OM} = e^{\psi}(\vec{u} + \vec{k})$ . Calculer $\vec{t}$ , $\vec{n}$ , $\frac{1}{R}$ , $\vec{b}$ , $\frac{1}{T}$ , $\frac{T}{R}$

J'ai fais la première question, ensuite j'ai, je pense, trouvé le vecteur $\vec{t} = \stackrel{.}\psi(a\vec{v} + b\vec{k})$ et que $\vec{t}.\vec{k} = cos\alpha$

Pourrais-je avoir un peu d'aide pour la suite svp ?