Niveau maths sup

Couple Résistant au pivotement

Posté par
Groy 28-02-09 à 21:01

Bonjour,

J'aimerais avoir votre aide pour retrouver le Couple de frottement qui résiste au pivotement que j'appelle C_p.

Normalement je dois avoir C_p = \frac{R_2^3 - R_1^3^}{R_2^2 - R_1^2^} T $f$

Je ne suis pas arriver jusqu'au bout et je ne vois pas où est mon ou mes erreurs.

Soient un disque troué au centre, de grand rayon R₂ et de petit rayon R₁ centré en O et $d\vec{F}$ la force élémentaire dû au frottement appliqué au point M.
Soit le repère orthonormé direct (0;,,) un r
$d\vec{F}$ = p ( $d\vec{n}$ + $f$ . $d\vec{t}$ ) dS avec :
- p la force de pression de contact
- $d\vec{n}$ la résultante élémentaire normale porté par
- $d\vec{t}$ la résultante élémentaire tangentielle porté par = - sin + cos
- $f$ le coefficient de frottement
- dS la surface élémentaire tel que dS = R d dR

On a alors
$\vec{F}$ = $4$ \int_{\theta=0}^{2\Pi}$    $4$\int_{R=R_1}^{R_2}$ p ( $d\vec{n}$ + $f$ . $d\vec{t}$ ) R d dR

$\vec{F}$ = $4$ \int_{\theta=0}^{2\Pi}$    $\frac{R_2^2 - R_1^2}{2}$   p ( dn + $f$ .dt( - sin + cos ) )  d

or dn = N et dt = T

$\vec{F}$ =   $\frac{R_2^2 - R_1^2}{2}$   p ( 2 N + $f$ .T( - 1 + 1 ) )

d'où
$\vec{F}$ = $\frac{R_2^2 - R_1^2}{2}$   p  2 N

Le disque tournant autour de son axe de rotation passant par O, on en déduit alors :
Le moment cinétique en O qui est nul :   $3$ \vec{M}_O = \vec{0}$

Soit alors le moment élémentaire en M noté $\vec{M_M} el$ = $\vec{MO}$ $d\vec{F}$

\vec{MO} = - R( cos + sin

$\vec{M_M} el$ = - R( cos + sin ) p ( $d\vec{n}$ + $f$ . $d\vec{t}$ ) R d dR

$\vec{M_M} el$ = - p R² dR d [  dn ( cos - sin ) - $f$ . $d\vec{t}$ ( cos² + sin² )   ]

$\vec{M_M}$ = $4$ \int_{\theta=0}^{2\Pi}$    $4$\int_{R=R_1}^{R_2}$ - p R² dR d [  dn ( cos - sin ) - $f$ . $d\vec{t}$   ]

$\vec{M_M}$ = - p $\frac{R_2^3 - R_1^3}{3}$    $4$ \int_{\theta=0}^{2\Pi}$   d [  dn ( cos - sin ) - $f$ . $d\vec{t}$   ]

$\vec{M_M}$ = - p $\frac{R_2^3 - R_1^3}{3}$   [ N ( - 1 + 1 ) ) - 2 $f$ .T    ]

$\vec{M_M}$ =  p $\frac{R_2^3 - R_1^3}{3}$   2 $f$ .T

Normalement je dois avoir C_p = $\frac{2}{3} \frac{R_2^3 - R_1^3^}{R_2^2 - R_1^2^}$ T $f$

Merci de bien vouloir m'aider.

Edit Coll