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Correction d'un exercice (moteur thermique)
Bonjour,
J'ai fait un exercice pour lequel je n'ai pas le corrigé et j'aimerai si possible que l'un d'entre vous puisse me dire si ce que j'ai fait est juste s'il vous plait.
Voici l'énoncé de l'exercice (je vous mets le lien du sujet en dessous de l'énoncé mais je recopie tout mot pour mot ici : exercice grand II partie 3)
Dans certains films les personnages utilisent des ceintures fusées pour se déplacer. Ces ceintures utilisent une solution concentrée d'eau oxygénée comme carburant.
La figure 5.2 schématise une ceinture fusée et distingue quatre éléments constitutifs principaux. Lorsque la valve régulatrice 3 est ouverte, le diazote N2 gazeux, comprimé à Pi=35,0 bar dans la bouteille 1, chasse l'eau oxygénée H202(l), concentrée à 90% en masse, contenue dans les bouteilles 2. Un catalyseur 4 (une grille d'argent Ag(s) solide) accélère la décomposition de l'eau oxygénée selon la réaction totale :
2H202(l) -> 2H20(g) + 02(g) (réaction 5)
On rappelle que cette réaction est lente en l'absence de catalyseur.
La décomposition de la solution concentrée d'eau oxygénée produit des gaz à haute température (Tc=1350°C). Ces gaz passent dans une tuyère calorifugée où ils sont accélérés par détente et refroidissement jusqu'à une température Tf = 400 °C. Étant donné la dimension de la ceinture fusée, la variation d'énergie potentielle de pesanteur des gaz est négligeable par rapport à la variation de leur énergie cinétique.
Chacune des deux bouteilles 2 (figure 5.2) contient initialement un volume VH2O2 = 19,0 L d'eau oxygénée. La puissance mécanique développée par une ceinture fusée est P = 1 500 ch (soit 1,10 MW) pendant une durée ∆t = 21,0 s. Elle permet au pilote d'atteindre une vitesse approchant v(pilote) = 15,0 m.s−1.
On considèrera que l'eau oxygénée utilisée est pure et introduite à Ti = 25,0 C. À cette température, elle est liquide et sa masse volumique est μH2O2 = 1,44.10^3 kg.m−3.
Dans les conditions imposées par la ceinture fusée, on donne les enthalpies standard de forma- tion ∆fHo et les capacités thermique molaires à pression constante CP,m suivantes (toutes les grandeurs sont supposées indépendantes de la température) :
∆fHo en kJ.mol−1
H2 O2(l) : -187
O2(g) : non donné
H2 O(g) : -285
CP,m en J.K−1.mol−1
H2 O2(l) :
O2(g) : 29,4
H2 O(g) : 64,6
On rappelle les masses molaires :
-de l'hydrogène MH = 1,01 g.mol−1 ;
-de l'oxygène M = 16,0 g.mol−1;
Je suis désolé l'énoncé est assez long mais c'est comme pour tout exercice de thermodynamique/thermochimie.
Donc voici les questions entre guillemets et mes réponses en dessous :
3)a) "Exprimer et calculer numériquement l'enthalpie standard ∆rHo(298 K) de la réaction (5) de dé- composition de l'eau oxygénée à 298 K. Commenter qualitativement quant à la possibilité d'utiliser l'eau oxygénée comme carburant d'une ceinture fusée."
Alors là j'utilise la loi de Hess : Je trouve -196kJ/mol
Réaction exothermique car <0 et cela est conforme au fonctionnement d'un moteur qui transforme l'énergie thermique en énergie mécanique donc nous pouvons utiliser l'eau oxygénée comme carburant d'une ceinture fusée.
3)b) "Construire le tableau d'avancement de la réaction (5), pour la décomposition d'une mole d'eau oxygénée."
Pour cette question je n'ai pas eu de problème donc je ne vous mets pas ma réponse ici.
3)c) "On suppose que l'enthalpie ∆rH(T, P) de la réaction (5) est indépendante de la pression et de la température : ∆rH(T, P) = ∆rHo(298 K). Exprimer le transfert thermique molaire Qm algébriquement fourni par la décomposition de l'eau oxygénée à la pression constante Pi = 35 bar ; faire l'application numérique. En déduire la valeur numérique du transfert thermique massique q correspondant."
Alors ici on utilise le fait que l'on réalise la décomposition de l'eau oxygénée à pression constante pour dire que l'on a ∆H = Qp = avancement*∆rH(1350+273,5 ; 35*10^5) = avancement*∆rHo(298 K) par hypothèse de l'énoncé.
Or la réaction est totale donc l'avancement est égal à :
avancement = n(H202) initiale / 2 = μH2O2*0.9 / M(H202) * 2*VH2O2
Je multiplie par 0.9 la masse volumique car l'énoncé dit "concentré à 90% en masse".
Et je multiplie par 2 le volume d'une bouteille car on a deux bouteilles.
En convertissant le volume en m-3 et la masse molaire en kg.mol-1 pour que les unités conviennent, j'obtiens finalement n(H202) initiale = 1447,6 mol
Donc par ma formule de l'avancement j'ai : avancement = 723,8 mol
Ce qui me donne au final ∆H = -141,8 MJ = Q
Or l'énoncé demande le transfert thermique molaire donc je divise par le nombre de mol de H202 ce qui me donne :
Qm = -141,8*10^6 / 1447,6 = -98kJ.mol-1
Mais en fait je me rends compte que mon résultat final pour Qm est juste ∆rHo(298 K) / 2 donc je me demande vraiment si soit j'ai fait des calculs inutiles en posant mes formules, soit j'ai complètement faux.
Je serai vraiment ravi que vous me dites si j'ai juste ou faux.
Enfin pour la valeur du transfert thermique massique correspondant je fais
q = Qm / M(H202) ; et j'obtiens q = -2880 kJ.kg-1
Je ne souhaite pas que vous vérifier tous mes calculs (ca peut prendre du temps et je ne suis pas là pour vous faire prendre du temps), mais j'apprécierai que vous me dites si les équations que je pose avant de faire les calculs sont justes.
Merci beaucoup par avance. 
Bien à vous,
Tirlititi
Bonjour
Je serai vraiment ravi que vous me dites si j'ai juste ou faux.
Jusque là tout va bien. J'ai même pris la peine de refaire les calculs.
Tu as raison : le transfert thermique molaire correspond bien à la moitié de l'enthalpie standard de réaction compte tenu des coefficients stœchiométriques. Je suis juste gêné par deux phrases de l'énoncé qui me paraissent contradictoires : au début on parle d'une concentration massique de 90% en H2O2 dans les bouteilles alors qu'un peu plus loin je lis : "On considérera que l'eau oxygénée utilisée est pure"...
Bonjour,
Je vous remercie pour votre rapidité et pour surtout pour avoir pris le temps de me lire.
Je n'avais pas relevé cette coquille, c'est vrai que ca parait bizarre.
Après pour l'instant (j'ai quasi fini l'exercice), je ne me suis pas resservi du coefficient 0,9, et même dans la question où je m'en suis servi, vu que l'on demande Qm comme énergie molaire, on tombe sur -98kJ.mol-1 quoi qu'il arrive.
Je vous propose ce que j'ai trouvé pour les questions suivantes.
"II.3.d. Quel est le rôle joué par le catalyseur ? Aurait-on pu ne pas l'utiliser ? Justifier."
Le catalyseur permet d'accélérer la réaction. Nous n'aurions pas pu ne pas l'utiliser puisque l'énoncé nous dit que la réaction est lente sans le catalyseur, donc la puissance thermique sera bien plus faible en l'absence du catalyseur, de même que la puissance utile du moteur.
"II.3.e. Rappeler l'énoncé du premier principe de la thermodynamique pour un écoulement stationnaire unidimensionnel d'un système à une entrée et une sortie. Expliquer alors qualitativement pourquoi le passage des gaz de combustion dans la tuyère provoque leur accélération."
Alors là j'ai une question à vous poser, savez-vous quelles équations pour le premier principe de la thermodynamique correspondent à quelles situations ? (de manière générale)
Parce que pour trouver ma réponse je "triche" un peu en regardant les questions suivantes et en voyant ce qui nous est demandé.
Du coup en "trichant", je trouve : ∆h+∆ec+∆ep = wi + q
D'ailleurs j'ai lu quelque part que l'on donnait toujours le premier principe sous forme massique et non avec ∆H, W et Q par exemple. Savez-vous pourquoi ?
Pour la suite de la question, le passage des gaz de combustion dans la tuyère provoque leur accélération car cette dernière est calorifugée donc q = 0, il n'y a pas de parties mobiles donc wi=0, l'énoncé dit que ∆ep est négligeable devant ∆ec donc je ne tiens pas compte de ∆ep.
Et je me retrouve avec ∆h + ∆ec = 0
Je fais l'approximation que les gaz sont des gaz parfaits pour utiliser la seconde loi de Joule (je ne sais pas trop comment justifier pourquoi je fais cette approximation mais au vu des données (capacités thermiques et variations de température) ca me semble être ce qu'il faut utiliser)
Et donc je me retrouve avec ∆T*cp avec cp capacité thermique massique = - ∆ec
Or ∆T est négatif donc ∆ec positif : on en conclut que la vitesse des gaz est augmentée.
"II.3.f. Quelle relation la vitesse de sortie maximale vgaz,max des gaz vérifie-t-elle alors ?"
J'utilise d'après ci dessus ∆T*cp = -∆ec
avec ∆ec = 1/2 (v final gaz)^2 - 1/2 (v initial gaz)^2
Je transforme les capacités thermiques molaires en capacités thermiques massiques en divisant Cp,m par la masse molaire. (je n'oublie pas le coef 2 pour H20)
Et je fais l'hypothèse que pour v max gaz je considère que v initial gaz est nulle puisque cela me donnera la plus grande variation de vitesse.
"II.3.g. Compte-tenu de la variation de température des gaz lors de leur passage dans la tuyère et en utilisant la relation précédente, déterminer la valeur numérique de la vitesse des gaz vgaz,max en sortie de la tuyère."
Après calculs j'ai vgazmax = sqrt ( (2Cp,m H20 / (18,02*10^-3) + Cp,m 02 / (32*10^-3)) * 2*850 ) = 3920 m.s-1
Voilà pour l'instant.
Vous remerciant par avance. Bien à vous,
Le premier principe appliqué à un système ouvert en régime permanent (débit massique de fluide constant) s'écrit effectivement comme indiqué où wi désigne le travail indiqué massique ou travail technique massique, c'est à dire le travail fourni par les parties mobiles de la machine (s'il s'agit d'une turbine ou d'un compresseur) à chaque kilogramme de fluide la traversant. Le travail des forces de pression se trouve intégré dans la variation d'enthalpie massique. Puisque le système est ouvert : il est commode d'appliquer le premier principe à chaque kilogramme de fluide traversant la machine. Autre avantage de cette méthode, en multipliant tous les termes par le débit massique Dm du fluide traversant la machine, il s'écrit :
Dm(
h+ec+ep)=Pth+Pm où Pth désigne la puissance thermique reçue par le fluide traversant la machine et Pm la puissance mécanique développée par les parties mobiles de celle-ci.
Mais j'ai l'impression que tu as compris l'essentiel de ce que je viens d'expliquer...
je ne sais pas trop comment justifier pourquoi je fais cette approximation mais au vu des données
L'approximation des gaz parfaits est excellente tant que la pression ne dépasse pas la dizaine de bar. À 35bar on est un peu limite mais bon : cet exercice est de toute façon une modélisation assez grossière de la réalité...
La suite me parait correcte sauf le calcul de la capacité thermique massique isobare du mélange gazeux. Je raisonne sur un mélange gazeux de 2mol de H20 et une mole de O2 soit une masse de 68g :
Je vous remercie une nouvelle fois pour votre réponse.
C'est donc de là que venait mon erreur ! J'obtenais un rendement supérieur à 1 par la suite donc je m'étais bien dit que j'avais fauté quelque part mais je ne savais pas où.
Je crois que c'est parce que j'ai voulu raisonner comme lorsque j'ai des mols, et comme chaque entité est présente en quantité différentes, on fait les calculs séparément. Alors qu'avec les masses on utilise la masse de l'ensemble. Je vais essayer d'y penser pour l'avenir.
En rectifiant le tir, j'obtiens donc v gaz max = 2104 m.s-1
Pour la suite : "II.3.h. Justifier que le rendement de cette ceinture fusée puisse s'écrire
n = vgazmax^2 / (2q)
Alors pour le rendement d'un moteur, grandeur utile / grandeur couteuse, on a la grandeur couteuse qui est l'énergie thermique que l'on transforme en grandeur utile qui est une énergie mécanique.
Ce qui nous donne en utilisant les énergies massiques.
n = -w/q = -1/2vgazmax^2 / q = vgazmax^2 / (2q)
On garde l'hypothèse que la vitesse initiale des gaz est nulle pour avoir l'expression avec la vitesse des gaz maximale.
On obtient donc n max = 0.77.
Pour le commentaire je ne sais pas trop quoi dire. Faut-il comparer avec le rendement dans le cas de Carnot ?
D'ailleurs pour ce dernier je sais qu'il vaut 1-Tf/Tc et je serai prouver pourquoi mais dans l'exercice ici présent je ne pense pas que Tf=673K et Tc=1623K car on obtient un rendement de Carnot de 0.59 dans ce cas inférieur au rendement de notre moteur à nous.
Je serai ravi d'avoir une petite piste pour savoir ce qu'il faut commenter ici.
"II.3.i. Évaluer numériquement la puissance thermique Pth fournie par la décomposition de l'eau oxygénée dans la ceinture fusée dont les caractéristiques sont données dans le document 1 (page 8)."
La puissance mécanique développée vaut P = 1500ch = 1,10MW pendant une durée de 21 secondes donc on obtient la puissance mécanique Pm en faisant le calcul 1.10.10^6 / 21 = 52,4 W
Donc Pm = 52,4W.
Dans la question suivante ils expriment le rendement réel comme P/Pth donc je suppose que Pm n'est pas utile et qu'il faut calculer Pth pour une durée ∆t également égale à 21 secondes.
Je sais que Pth est la dérivée de Q par rapport au temps.
J'ai Q qui vaut -141.8MJ d'après ce que j'ai fait dans les premières questions.
Et en dérivant Q par rapport au temps j'obtiendrai Pth, mais comme vous pouvez le voir je bloque un petit peu.
Possible d'avoir un petit hint ? :p La seule donnée parmi celles qui sont fournies que je n'ai pas encore utilisées est la vitesse du pilote mais je ne suis pas sûr que c'est cette dernière qu'il me faille utiliser.
Bien à vous,
Tortoise
Pour le rendement thermodynamique, la quantité coûteuse q sert à produire de l'énergie cinétique massique (quantité utile) mais sert aussi à élever la température : une partie de l'énergie coûteuse est donc transformée en énergie interne des gaz, inutile dans ce contexte... D'où le rendement inférieur à 1...
Pour la suite : attention : le produit d'une puissance par une durée donne une énergie...
À propos du rendement réel :
la puissance utile est la puissance mécanique fournie par l'énoncé : Pm=1,10MW
la puissance coûteuse est la puissance thermique dont je t'ai fourni l'expression dans mon message de généralité : Pth=Dm.q
Le débit massique Dm est facile à déterminer sachant que la masse totale de H2O2 déjà calculée s'écoule en t=21,0s. Il faut faire l'hypothèse d'un débit massique constant.
Je vous remercie pour l'explication du rendement inférieur à 1, je comprends tout à fait. En ce qui concerne mon analogie avec le moteur de Carnot, je ne suppose qu'elle n'a pas lieu d'être ici puisque ca a beau être un moteur, nous n'avons pas du tout deux compressions et deux détentes. Est ce bien ca ?
Je n'ai pas multiplié une puissance par une durée. En fait je sais qu'une puissance s'exprime en W qui est également des J.s-1. Or je me suis dit que si l'on nous donnait une puissance pour un temps de 21s, pour avoir la puissance ramenée à la seconde je pouvais diviser par 21. Je pensais que diviser par 21 ne changeait pas l'unité comme lorsque l'on a une vitesse en mètres/heure et qu'on veut la ramener en mètres/seconde on divise par 3600 et cela ne change pas l'unité.
Mais en fait je n'ai pas du tout vu qu'on pouvait calculer un débit massique ici, j'ai regardé le problème dans tous les sens, je pense que je n'ai pas eu le recul de me dire "suis-je bête, un jetpack n'aura pas un carburant illimité et donc 21 secondes c'est l'utilisation de tout l'H202". Je pense que je n'ai pas assez d'expérience sur certains problèmes parce que je constate que j'ai du mal à prendre ce recul (c'est souvent les dernières questions des exercices, et je déroule sur les premières mais les dernières je peux bloquer vraiment longtemps). Enfin ca se travaille je vais continuer !
Du coup c'est de suite plus simple.
On suppose un débit massique constant, ce qui donne Dm = m(H202)/21
m(H202) = μH2O2*0.9 *2*19.10^(-3) = 49.2 kg
Donc Dm = 2.35kg.s-1
Ce qui nous donne finalement : Pth = -Dm*q = -(-6.75)MW
L'eau oxygénée fournit une puissance Pth de 6.75MW en se décomposant.
On a finalement n réel = P/Pth = 0.16
Rendement beaucoup plus faible. Cela peut s'expliquer par différents probables facteurs.
Par exemple, la tuyère qui ne serait pas réellement calorifugée.
Des pertes singulières de charges dû à la géométrie des tuyaux.
Des pertes régulières de charges si le fluide n'est pas vraiment parfait dû à sa viscosité.
Voilà j'ai pas beaucoup d'autres explications je pense que j'ai fait à peu près le tour.
Je vous remercie vraiment beaucoup pour votre aide et pour le temps que vous m'avez accordé.
Bien à vous,
Je voudrais revenir sur le premier principe de la thermodynamique dont nous parlions.
Par exemple dans ce TD à la fin du vrai faux :
Il y a 6 différentes expression du premier principe de la thermodynamique à appliquer dans 6 différents cas.
Personnellement je trouve
1er principe pour un système ouvert :
1er principe pour un système fermé :
1er principe pour un système fermé version monobare (pext = cst et pi = pf = peut) :
1er principe pour un système ouvert en terme de puissances :
1er principe pour un système fermé version monobare avec grandeurs massiques :
1er principe pour un système fermé avec grandeurs massiques :
Donc ca répond en gros à ma question
Alors là j'ai une question à vous poser, savez-vous quelles équations pour le premier principe de la thermodynamique correspondent à quelles situations ? (de manière générale)
Mais j'ai encore un petit truc qui m'échappe.
Dans l'annale de l'année d'avant (2015)
partie II.B.
Il y a un compresseur à pistons qui laisse passer le fluide jusqu'à une certaine pression (système ouvert), qui compresse ensuite le fluide (système fermé) puis qui relâche le fluide (système ouvert).
Je réponds aux questions 37, 38 et 39 puis j'arrive à la question 40.
Je définis le travail indiqué comme dans mon cours, à savoir comme le travail qui est recu par unité de masse de fluide et qui provient des parties mobiles de la machines.
Mais je dois justifier qu'il est nul, or à part dire qu'il n'y a pas de parties mobiles je ne vois pas vraiment quoi dire de plus. Et après avoir fouillé un peu sur internet, je suis tombé sur un travail de transvasement qui correspond à VdP au lieu de -PdV. Mais ca c'est pas dans mon cours, il y avait un autre moyen de dire que le travail indiqué est nul sur les transformations A-B et C-D qu'en disant que wi représente wt (travail transvasement) et que comme la pression est constante sur ces 2 trajets VdP = 0 ?
Je pense encore une fois que c'est un problème de recul par rapport au problème posé, ou alors je n'ai pas bien compris la définition de wi.
Je vous remercie par avance.
Bien à vous,
Imagine une machine ouverte élémentaire avec parties mobiles. En négligeant les variations d'énergies potentielle et cinétique macroscopiques, le premier principe donne :
dh=
q+wi
seconde identité thermodynamique :
dh=v.dP+T.ds
Si l'évolution dans la machine est réversible : q=T.ds
en identifiant :
wi=v.dp
Attention : cette expression n'est valide que dans le cas limite de la réversibilité. Comme je pense tu l'as compris, le travail de transvasement massique représente le travail massique des parties mobiles de la machine, rien à voir avec -P.dV qui représente le travail des forces de pression pour un système fermé évoluant de façon quasi statique...
Bonjour,
Votre explication est parfaite ! Je vous remercie.
Et les deux identités thermodynamiques sont valables tout le temps ?
En général dans les exercices on les utilise seulement lorsqu'il y a réversibilité pour avoir variation infinitésimale de q=T.ds et donc identifier wi ou w comme le terme restant, ou il y a d'autres cas de figures de ces identités ? (je pense au concours)
Parce que vous utilisez l'hypothèse de réversibilité et dans l'énoncé ils disent que le subit des transformations réversibles mais pour moi c'était que pour la phase du milieu lorsque l'on comprimait le
que c'était réversible parce que quand il rentre ou qu'il sort du compresseur il subit pas vraiment une "transformation". Cette hypothèse de réversibilité s'étend donc tout de même ?
Bien à vous,
bonsoir
Et les deux identités thermodynamiques sont valables tout le temps ?
Elles sont démontrées en supposant les évolutions réversibles. Cependant, puisqu'elles s'appliquent à des fonctions d'états, les variations de celles-ci lors d'une évolution quelconque irréversible peuvent toujours se calculer en imaginant un chemin fictif réversible entre l'état initial réel et l'état final réel. Si les grandeurs utiles en thermo ne pouvaient pas se calculer comme des variations de fonctions d'état, le programme accorderait beaucoup moins d'importance aux transformations réversibles puisque celles-ci n'existent pas réellement !
Ton exercice sur le fonctionnement réversible du compresseur à piston demande simplement d'utiliser la notion de travail massique de transvasement. En réalité, la démonstration que j'ai faite consistant à considérer le compresseur réel comme une succession de compresseur élémentaires s'applique plutôt aux compresseurs ou turbines rotatifs. Si tu veux vraiment approfondir le fonctionnement réversible du compresseur à piston, il faut considérer le piston en équilibre à chaque instant sous l'action de trois forces horizontales (le poids du piston est compensée par l'action du cylindre sur le piston) ; je note S l'aire de la section droite du cylindre et compte positivement les forces dans le sens du mouvement du piston qui augmente le volume utile V du cylindre :
La force pressante exercée sur le gaz à l'intérieur du cylindre : P.S
La force pressante exercée par l'air extérieur : -Pa.S
La force "utile" exercée un moteur extérieur sur le piston : F
évolution quasi statique : F+P.S-Pa.S=0 soit : F=S.(Pa - P)
Essaie de calculer les trois travaux correspondant aux trois étapes figurant sur le diagramme de Watt. Tu devrais obtenir :
En réalité le travail technique (travail de F) n'est pas nul de A à B et de C à D, ce pendant, la somme des trois travaux est égale à l'aire à gauche de la courbe BC, il peut donc être calculé comme un travail de transvasement :
Dans mon étude du compresseur à piston, je parle de 3 forces horizontales. Il serait plus général de parler de 3 forces ayant pour direction l'axe du cylindre...
Tout d'abord je vous remercie pour votre aide.
Si tu veux vraiment approfondir le fonctionnement réversible du compresseur à piston,
A vrai dire, je ne cherche pas à approfondir, surtout que c'est bien plus long et difficile la deuxième méthode que la première.
La première reste correcte non ?
Quand je demandais si l'hypothèse de réversibilité pouvait s'étendre aux cas A-B et C-D, c'était une manière dont vous le dites de demander si je pouvais considérer le compresseur comme 3 compresseurs élémentaires.
J'ai également une question question concernant les travaux utiles. Quels sont les différents travaux utiles que l'on peut rencontrer ?
Travail électrique ou travail d'une partie mobile d'une machine et c'est tout non ?
Bien à vous,
si je pouvais considérer le compresseur comme 3 compresseurs élémentaires
Je dirais plutôt : considérer le compresseur comme une succession de trois machines parcourues par le même fluide puis raisonner pour chacune à partir de la notion de travail de transvasement. C'est manifestement la méthode attendue par le concepteur de l'énoncé. Elle a l'avantage d'être rapide.
En thermo le travail indiqué massique, que l'on peut assimiler au travail de transvasement massique en cas de réversibilité, est toujours le travail reçu par kilogramme de fluide traversant la machine de la part des parties mobiles de celles-ci. En pratique : wi
0 pour les compresseurs, les turbines, les éoliennes. Bien sûr, les parties mobiles des compresseurs peuvent être entraînées par un moteur électrique.Bonjour,
Je vous remercie pour votre réponse.
Donc si j'ai bien compris, la méthode voulue par le concepteur de l'énoncé pour cette exercice est celle que vous énoncez dans votre réponse du 19/02 à 10h46 et cette dernière est suffisante.
Je vous remercie pour votre définition du travail indiqué massique et pour les précisions apportées, c'est exactement ce que je recherchais.
Je tente les questions 41 à 46 dans la journee et vous propose mes résultats.
Bien à vous,
J'ai donc fait l'exercice.
Si vous pouviez me dire si cela est correct et éventuellement la rédaction que j'oublie. (Je fais une rédaction simplifiée mais si j'oublie une hypothèse n'hésitez pas à me réprimander)
41) En utilisant q39 et le fait que car q vaut 0 puisque compression adiabatique.
On obtient après calculs :
42)
car ces deux points sont sur la même courbe isotherme.
43) On a en utilisant l'équation du premier principe de la thermo de la q41 et en reprenant les expressions trouvées q39 et q40 que car compression adiabatique
On obtient
}^{1-\frac{1}{\gamma }} - 1))[/tex]
On se sert de pour la deuxième expression.
44) Toujours de même qu'avant au cours du refroidissement est nul car transformation isobare.
Et sur les chemins A->B' et G->D est nul car de même la pression ne varie pas (on réutilise q40)
Donc finalement
45) On a montré q40 que donc en fait le travail indiqué au cours d'un cycle est l'aire à gauche de la courbe.
On voit que pour un cycle à des étages cette aire est plus petite que pour un cycle à un étage donc le travail à fournir pour un même taux de compression x est plus faible.
46)
Donc si l'on associe à nos deux différents cycles on obtient ou également
Donc au final :
Par déduction comme d'après le graphique, alors
Pour l'avantage le sujet étant sur le réchauffement climatique je suppose que si l'on a le deuxième CO2 dans l'atmosphère ce sera mieux que le premier car température plus faible donc ca va moins réchauffer notre planète.
Bien à vous,
Je ne peux malheureusement éditer mais pour mon erreur de Latex, voici ce que je voulais répondre :
On obtient
Bonjour
41) cp désigne la capacité thermique isobare massique. La relation de Mayer s'écrit avec M : masse molaire du gaz et R constante des gaz parfaits :
43) On applique le résultat 41 à chacune des deux compressions :
44
46) Un échauffement trop important des machines pose de nombreux problèmes techniques : dilatation des pièces métalliques pouvant entraîner des problèmes d'étanchéité, oxydation plus importante par le dioxygène de l'air mais bien sûr, le principal intérêt de la compression à deux étages est qu'elle consomme moins d'énergie mécanique (wi plus faible).
Approfondissement possible que j'ai vu passer souvent à des concours de ce type : comment choisir la pression intermédiaire pour minimiser wi ?
Réponse : puisque Ps et Pe sont fixés par le cahier des charges, il s'agit de minimiser une somme de deux termes : dont le produit est une constante. On démontre en math que la somme est minimale si les deux termes sont égaux. Il faut donc choisir la pression intermédiaire de sorte que :
Bonjour,
Autant pour moi je n'ai pas lu la définition des cp et c'est vrai qu'ici elles sont massiques donc mon nR doit être remplacé par R/M dans toutes mes expressions. Et en plus de ca j'ai mal fait mon calcul j'avais remplacé Cv par gamma*Cp plutôt que par Cp/gamma.
Modulo ce coefficient où j'avais faux vous obtenez bien les mêmes résultats que moi pour wi, wi,B'E et wi,FG.
Je vous remercie pour les conséquences d'une température plus élevée pour la dernière question c'est on ne peut plus complet.
Pour votre approfondissement, en gardant les puissances je n'ai pas réussi à montrer qu'il faille que les deux termes soient égaux pour minimiser la somme.
Mais j'ai fait l'hypothèse que minimiser une somme de termes positifs à la même puissance positive revenait au même que de minimiser cette somme sans les puissances.
Et en dérivant la somme sans les puissances je retombe sur P's^2 = Ps*Pe.
Donc je pense qu'à priori c'est juste puisque c'est le résultat que vous indiquez mais je ne me souviens plus du théorème ou de ce qui me permet de dire que "minimiser une somme de termes positifs à la même puissance positive revenait au même que de minimiser cette somme sans les puissances"
Par curiosité, vous êtes ou avez été prof de prépa pour connaître aussi bien ces concours ?
Bien à vous,
Je n'ai rien dit pour l'expression mathématique, les deux termes étant positifs j'ai écrit la somme comme supérieure ou égale à 0 et apres manipulation j'obtiens Ps'^2 supérieur ou égal à Ps*Pe donc minimiser reviendrait à les rendre égal.
Je crois que ce dont je parlais plus haut est juste un coup de chance.
Ton raisonnement est correct. C'est un plaisir de travailler avec quelqu'un de motivé qui a du "répondant" !
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