Bonjour tout le monde. Je travaille (c'est un bien grand mot tout de même) actuellement sur les cordes vibrantes et je suis confronté à un véritable problème que je n'arrive pas à résoudre mal grès l'abondance de source sur internet.

Voila le problème:

je cherche en fait, à partir d'une corde vibrante fixé à ses extrémité, à établir l'équation d'Alembert. J'ai été sur énormément de site mais j'avoue ne pas comprendre grand chose. C'est-à-dire que je suis en 1ere année de licence et que je n'ai jamais fait de cours sur les cordes. De plus, j'aime bien la physique mais disons que j'ai des difficultés d'autant que, ici, l'équation fait intervenir une fonction de deux variables ainsi que des dérivées partielles et je n'ai jamais fait quelque chose de semblable dans mes cours de mécanique de fac (d'ailleurs mon cours de maths sur les fonctions à deux variables n'était pas très développé juste la base: en gros calculer des dérivées partielles). Bref, après avoir raconté ma vie je vous expose où j'en suis:

La corde est fixé au point O(0,0) et au point A(L,0).  L est la longueur de la corde
Les conditions initiales sont: t, y(o,t)=0 et y(L,t)=0

L'équation d'Alembert donne:

²y/t²-c²²y/x²=0

avec c la célérité: c=(T/) avec T la tension de la corde et la masse linéique.
En faite on supose la tension en tout point de la corde constante et la masse linéique aussi c'est ça ? (je modélise les cordes d'un piano).

La solution de cette équation est:
y(x,t) = Acos(t+kx)+Bsin(wt-kx) avec A l'amplitude et la pulsation de l'onde.

La 1ere condition initial donne: A=0
D'où: y(x,t) = Bsin(wt-kx)
La deuxième condition initial donne:
y(L,t)=0 Bsin(wt-kL)=0
En particulier pour t=0 on a: Bsin(kL)=0
D'où: kL=n,n
k_n=n/L

or w=kc (d'où ça sort ??)
d'où: k_n=w_n/c=2f_n/cf_n=nc/2L avec f_n les fréquences harmoniques (pour n=1 fréquence fondamentale)

Voila. En fait le gros problème c'est que je n'ai pas compris comment on démontre que la position d'un point M quelconque de la corde vérifie l'équation d'Alembert. J'ai vu qu'il fallait utilisé le principe fondamental de la dynamique. Mais je ne comprend pas comment m'en sortir.

Je précise en dernier lieu que il ne faut pas entrer dans les détails trop compliqué pour que la résolution du problème reste compréhensible (enfin à ma porté). Pour l'instant la  méthode pour établir l'équation d'Alembert que j'ai le mieux compris est celle de wikipedia:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Onde_sur_une_corde_vibrante

(mais je ne comprend pas le théoréme de Taylor pour deux variables... et il reste encore plein d'autre zone qui sont obscurs pour moi)

Merci d'avance pour votre aide.