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corde vibrante

Posté par
azerty4
18-04-19 à 15:41

Bonjour

je bloque un peu sur l'étude d'une corde vibrante (point de vue de l'énergie)

J'ai prouvé l'équation \frac{\partial ²\vec u }{\partial t ² } = c² \frac{\partial ² \vec u }{\partial x ² } (avec c² = \frac{T_0}{\mu_0}

J'ai également
dEc = \frac{1}{2} µ_0 (\frac{\partial \vec u }{\partial t } ) ^2
dEp = \frac{1}{2}T_0 (\frac{\partial \vec u }{\partial x } ) ^2)
[/tex]

Donc l'énergie mécanique dW = \frac{1}{2} ( µ_0 (\frac{\partial \vec u }{\partial t } ) ^2 + T_0 (\frac{\partial \vec u }{\partial x } ) ^2)

On doit exprimer la variation d'énergie mécanique d²W et montrer qu'on peut l'écrire d²W = \frac{\partial P}{\partial x} dx dt




Je ne vois pas vraiment comment faire

Avez vous une idée ?

Merci d'avance

Posté par
vanoise
re : corde vibrante 18-04-19 à 22:33

Bonjour

Attention : certaines de tes notations sont incorrectes. \frac{1}{2}\mu\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2} représente l'énergie cinétique linéique c'est à dire l'énergie cinétique par unité de longueur. L'énergie cinétique de la portion de corde comprise entre les abscisses x et (x+dx) vaut donc :

dEc=\frac{1}{2}\mu\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2}\cdot dx

Remarque analogue pour l'énergie potentielle linéique de sorte que l'énergie mécanique de la portion de corde comprise entre les abscisses x et (x+dx) vaut :

dW=\frac{1}{2}\left[\mu\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2}+T_{o}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}\right]\cdot dx

Pour la suite, tu ne précises pas à quoi correspond d^{2}W et à quoi correspond P.

Posté par
azerty4
re : corde vibrante 18-04-19 à 22:48

Bonsoir,

merci pour votre réponse

d²W correspond à la variation d'énergie mécanique (énergie mécanique notée dW = dEc + dEp) et P puissance mécanique

Je ne vois pas trop ce que ça apporte de dériver dW par rapport au temps, je ne parviens pas à voir comment on poura simplifier

Ensuite, pour faire le lien d²W = \frac{\partial P}{\partial x} dx dt je pensais utiliser le théorème de l'énergie (variation d'énergie potentielle = puissance des forces conservatives)


Merci d'avance pour votre aide

Posté par
vanoise
re : corde vibrante 19-04-19 à 14:11

Attention : dire que P désigne une puissance est correct du point de vue de l'homogénéité des formules fournies mais de quelle puissance s'agit-il exactement ?

Posté par
azerty4
re : corde vibrante 19-04-19 à 14:46

Nous avons juste "P puissance mécanique apparaissant comme le produit de 2 grandeurs que l'on précisera"

Je pensais à P = \vec F . \vec v = T_0 \frac{\partial u}{\partial t}


Bonne journée

Posté par
vanoise
re : corde vibrante 19-04-19 à 17:30

Il s'agit peut-être de la puissance définie page 16 paragraphe 2.2 :

Ce document est assez complet et bien fait...

Posté par
azerty4
re : corde vibrante 21-04-19 à 21:23

Bonjour,
merci pour le lien c'est beaucoup  plus détaillé  et clair que notre cours

j'avais  oublié de projeter To sur y
J'obtient bien P = -T_0 \frac{\partial u}{\partial t } \frac{\partial u}{\partial x}

J'ai donc dérivé par rapport au temps  dW = \frac{1}{2} µ_0 (\frac{\partial u}{\partial t }) ² dx + \frac{1}{2}T_0 (\frac{\partial u}{\partial x })²dx

\frac{d²W}{dt} = \frac{1}{2} µ_0 2 (\frac{\partial u}{\partial t}) .\boldsymbol{ \frac{d}{dt}(\frac{\partial u}{\partial t})}\textbf{} dx + \frac{1}{2} T_0 2 (\frac{\partial u}{\partial x}) . \frac{d}{dt}(\frac{\partial u}{\partial t}) dx

J'ai posé \frac{d}{dt}(\frac{\partial u}{\partial t}) (en gras dans la formule) = 0 sans savoir pourquoi (cela permet de retrouver la formule)
La vitesse d'oscillation (enfin la vitesse verticale de la corde) est supposée constante ?

Avec la formule de la puissance P = -T_0 \frac{\partial y}{\partial x} \frac{\partial y}{\partial t}

Je retrouve bien au signe près (je ne vois pas comment faire intervenir un signe moins dans dérivée ?

d²W = \frac{\partial P}{\partial x} dx dt

Merci d'avance pour votre aide

Bonne soirée

Posté par
vanoise
re : corde vibrante 21-04-19 à 22:02

Citation :

J'ai posé \frac{d}{dt}(\frac{\partial u}{\partial t}) (en gras dans la formule) = 0 sans savoir pourquoi (cela permet de retrouver la formule)

Selon l'équation de propagation de d'Alembert :

\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=\frac{T_{o}}{\mu_{o}}\cdot\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}

En imaginant le cas simple d'une onde progressive non amortie :

u=A.\cos\left[\omega\left(t-\frac{x}{c}\right)\right]
on voit bien que, dans le cas général, les deux dérivées secondes ne sont pas nulles à chaque instant et en tout point.
Citation :
La vitesse d'oscillation (enfin la vitesse verticale de la corde) est supposée constante ?

La vitesse de propagation c (célérité) est constante mais pas la vitesse d'oscillation de chaque point de la corde \left(\frac{\partial u}{\partial t}\right) qui dépend à la fois de x et de t. Reprends l'exemple de l'onde progressive pour t'en convaincre.

Posté par
azerty4
re : corde vibrante 22-04-19 à 09:39

Bonjour,

en reprenant \frac{d²W}{dt} = \frac{1}{2} µ_0 2 (\frac{\partial u}{\partial t}) .\boldsymbol{ \frac{d}{dt}(\frac{\partial u}{\partial t})}\textbf{} dx + \frac{1}{2} T_0 2 (\frac{\partial u}{\partial x}) . \frac{d}{dt}(\frac{\partial u}{\partial t}) dx

A partir de l'équation d'Alembert j'ai donc remplacé le terme en gras


\frac{d²W}{dt} = \frac{1}{2} µ_0 2 (\frac{\partial u}{\partial t}) .\boldsymbol{ \frac{T_0}{µ_0}(\frac{\partial² u}{\partial x²})}\textbf{} dx + \frac{1}{2} T_0 2 (\frac{\partial u}{\partial x}) . \frac{d}{dt}(\frac{\partial u}{\partial t}) dx

En identifiant avec la puissance, P = - T_0 \frac{\partial u}{\partial t} \frac{\partial u}{\partial x}

On trouve d²W = - 2 \frac{\partial P}{\partial x} dx dt

On se rapproche de ce qu'on doit trouver d²W =  \frac{\partial P}{\partial x} dx dt mais il y a un facteur 2 en trop ...

Voyez vous d'où peut venir mon erreur ?

Merci encore

Posté par
vanoise
re : corde vibrante 22-04-19 à 12:14

Pour alléger l'écriture, je définis l'énergie mécanique linéique :

E_{ml}=\frac{1}{2}\left(\mu_{o}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2}+T_{o}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}\right)

Dérivation par rapport au temps :

\frac{\partial E_{ml}}{\partial t}=\mu_{o}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}\right)+T_{o}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial t\partial x}\right)

Soit en tenant compte de l'équation de propagation de d'Alembert :

\frac{\partial E_{ml}}{\partial t}=T_{o}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\right)+\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial t\partial x}\right)\right]

Si on pose :

P=-T_{o}\cdot\frac{\partial u}{\partial t}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}

\frac{\partial P}{\partial x}=-T_{o}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial t\partial x}\right)+\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\right)\right]

Donc :

\frac{\partial E_{ml}}{\partial t}=-\frac{\partial P}{\partial x}

Posté par
azerty4
re : corde vibrante 22-04-19 à 15:02

Merci beaucoup !

Mon erreur était d'avoir inversé certaines dérivées au dénominateur alors que c'était interdit

C'est beaucoup plus clair maintenant

Merci encore

Bonne journée



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