Niveau maths sup

Corde excitée de facon sinoidale

Posté par
nono69 05-05-18 à 20:26

Bonjour je n arrive pas a comprendre plusieurs choses sur la correction de cet exo .
-A la question 1) pourquoi Ys(t) = Ym sin(wt)
A la question2) que represente (2n+1)λ/2
A la question3)b) je ne vois pas d'où sort le 7/2 d
Merci d avance
énoncé :
l'extremité S d'une corde élastique est reliée à un vibreur qui lui impose un mouvement
oscillatoire vertical, sinusoidal, de fréquence f = 100 Hz et d'amplitude Ym .Chaque point de la corde est repéré par son abscisse x et son élongation verticale y dans le repère  (Oxyz) , O désignant la position d'équilibre de S. Le mouvement de S début à l'instant t = 0. Un dispositif amortisseur placé à l'autre extrémité de la corde empêche la réflexion de l'onde issue de S.

1. A l'instant t = 0, S passe par sa position d'équilibre avec une vitesse $\vec{V0}$ verticalement ascendante de norme V0 = 2,5ms^-1 .Donner l'équation horaire du mouvement de S, notée ys(t), en précisant les valeurs numériques de tous les paramètres.

2.La plus petite distance entre deux points vibrant en opposition de phase étant d= 6,0 cm, en déduire la longueur d'onde λ et la célérité c des ondes le long de la corde.

3. On considère maintenant un point M de la corde, d'abscisse Xm = 21 cm.
a) Quelle est son équation horaire Ym(t)? Calculer la valeur numérique de son retard par rapport à S.
b) Comparer les mouvements des points O et M.
c) Calculer les élongations des points O et M à l'instant de date t1 = 40 ms.

4. On étudie maintenant la corde globalement à l'instant t1=40 ms

a)Déterminer la fonction Yt1(x) décrivant l'élongation le long de la corde à cet instant. Quelle est sa période spatiale?

correction

1. S a un mouvement rectiligne sinusoidal vertical, de la forme Ys(t)=Ym cos(wt+ phi). La ppulsation est w = 2*pi*F = 630 rad.s^-1   . Sa vitesse est   $\vec{V}$ = $\dot{y}$ s(t) $\vec{ey}$ =-Ym*w*sin(wt+phi) $\vec{ey}$ . A t = 0 ,
ys(0)=0=Ym*cos(phi) (position d'equilibre) donc phi= $\pm$
$\pm pi/2$ ; et v0 = -Ym*w*sin(phi)>0 donc sin(phi)<0 d'où phi = -pi/2, ce qui permet de reecrire l'élongation sous la forme ys(t)=Ymsin(wt). Enfin V0= Ym*w d'où Ym = V0/2*pi*F = 4.0 mm.

2.Entre deux points en opposition de phase , la distance est (2n+1)λ/2, donc ici d = λ/2. Or λ=cT = c/F , donc c = 2*F*d  donc c = 12ms^-1

3 a) M reçoit l onde avec un retard $\Delta$ t = Xm/c donc $\Delta$ t = 18 ms .Son équation horaire est alors ym(t)=Ym sin(w(t-Xm/c)) pour t>18 ms
b) La position de M est telle que SM = 7/2d=(7/2)*(λ/2), sachant que la distance d correspond à un dephasage de pi, donc M est en retard de 7pi/2 c-a-d en avande de pi / 2par rapport à S.

Posté par re : Corde excitée de facon sinoidale 05-05-18 à 21:36

Bonsoir
Le problème est que ta correction me semble tout à fait correcte. Si tu ne la comprends pas, c'est sans doute que tu n'as pas bien compris le cours correspondant.
La première question concerne un mouvement rectiligne sinusoïdal. L'expression la plus générale de l'équation horaire correspondante est :

$y_{S}=Y_{m}.\sin\left(\omega.t+\varphi\right)$
La vitesse de S a pour mesure algébrique :

$v=\frac{dy_{S}}{dt}=Y_{m}.\omega.\cos\left(\omega.t+\varphi\right)$
La valeur de y_s et de la vitesse à t=0 permettent de déterminer et Ym.

Ensuite, le cours sur les ondes progressives permet de démontrer que deux points qui vibrent en phase sont distants d'un multiple de la longueur d'onde et que deux points vibrant en opposition de phase sont distants de (n+½ )..

Posté par re : Corde excitée de facon sinoidale 06-05-18 à 00:51

Merci mais je n arrive pas a trouver 7/2 enfaite

Posté par re : Corde excitée de facon sinoidale 06-05-18 à 11:42

d=6cm ; Xm=21cm ; cela conduit bien à :

$\frac{X_{m}}{d}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}$

Posté par re : Corde excitée de facon sinoidale 11-05-18 à 23:55

d accord j ai du mal a comprendre pourquoi xm/d

Posté par re : Corde excitée de facon sinoidale 12-05-18 à 12:10

L'essentiel est expliqué dans l'énoncé. On peut aussi reprendre la démonstration de cours à zéro puisque je ne suis pas certain qu'elle soit bien comprise. L'élongation de la source est :

$y_{S}=Y_{m}.\sin\left(\omega.t\right)$

Le point M, situé à la distance $X_{M}$ de S, reproduit le mouvement de S avec un retard $\Delta t=\frac{X_{M}}{c}$ . L'élongation de M est ainsi :

$y_{M}=Y_{m}.\sin\left[\omega.\left(t-\Delta t\right)\right]=Y_{m}.\sin\left(\omega.t-\omega\frac{X_{M}}{c}\right)$

Puisque : $\omega=\frac{2\pi}{T}$ et : $\lambda=c.T$ (longueur d'onde) :

$y_{M}=Y_{m}.\sin\left(\omega.t-2\pi\frac{X_{M}}{\lambda}\right)$

Comme déjà dit, les points qui vibrent en opposition de phase sont distants de $\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda$ avec n : nombre entier strictement positif. La distance minimale entre deux points vibrant en opposition de phase est donc :

$d=\frac{\lambda}{2}\quad donc\quad\lambda=2d=12,0cm$

$y_{M}=Y_{m}.\sin\left(\omega.t-\pi\frac{42}{12}\right)=Y_{m}.\sin\left(\omega.t-\pi\frac{7}{2}\right)$

Un sinus est inchangé en ajoutant ou retranchant à la phase un multiple de $2\pi$ .

$y_{M}=Y_{m}.\sin\left(\omega.t+4\pi-\pi\frac{7}{2}\right)=Y_{m}.\sin\left(\omega.t+\frac{\pi}{2}\right)=Y_{m}.\cos\left(\omega.t\right)$

Pour la question 4), je t'ai quasiment fait la démonstration ci-dessus... Il faut vraiment que tu étudies ton cours...