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Corde entretenue

Posté par
Nidja05 15-03-11 à 15:48

Bonjour,

J'ai un peu de mal en physique, j'ai un exercice à faire et je ne sais pas si ce que j'ai déjà fait est bon.

L'énoncé est :

Une corde homogene AB de masse m et de longueur l est tendue sous une tension T entre deux points fixes.
Un point quelconque de la corde sera repéré par sa distance x à l'extrémité A. Le milieu I de la corde est assujetti à un vibreur qui exerce sur la corde une force sinusoïdale transversale F = F_0cos \omega t.
On note y_1 (x, t) l'ecart transversal entre A et I, et y_2 (x, t) entre I et B.

On cherche la solution sous forme d'une superposition d'ondes progressives de pulsation \omega et se propageant en sens opposés, soit en notation complexe (normalement il y a une vague sur les y, mais je ne sais pas l'afficher avec latex) :
5$\{{y_1(x,t)=\alpha_1 e^{i{\omega} (t-x/c)}+\beta_1 e^{i{\omega} (t+x/c)}\atop y_2(x,t)=\alpha_2 e^{i{\omega} (t-x/c)}+\beta_2 e^{i{\omega} (t+x/c)}

Je dois montrer que les conditions aux limites permettent d'écrire trois relations entre les constantes complexes \alpha_1\ \alpha_2\ \beta_1\ et\ \beta_2

J'ai dit qu'aux limites y(0,t)=0 et y(l,t)=0 avec y(x,t)=y_1(x,t)+y_2(x,t), d'où

5$\{{y_1(0,t)+y_2(0,t)= e^{i \omega t} (\alpha_1 +\beta_1 + \alpha_2 + \beta_2)}\atop y_1(l,t)+y_2(l,t)= e^{i{\omega}t}((\alpha_1 + \alpha_2) e^{-il/c}+(\beta_1+\beta_2) e^{il/c})

D'où \alpha_1 +\beta_1 + \alpha_2 + \beta_2=0 et (\alpha_1 + \alpha_2) e^{-il/c}+(\beta_1+\beta_2) e^{il/c}=0 mais je n'arrive pas à trouver une troisième relation.

Désolé, c'est un peu long, mais j'ai du mal à y voir clair dans ma tête. J'ai comparé avec des exercices sont j'ai la correction et c'est comme ça que j'ai trouvé ça, mais je ne suis pas sure du résultat.

Merci d'avance pour l'aide apportée.

Posté par
Nidja05re : Corde entretenue 16-03-11 à 11:59

Personne ne peut m'aider ???

Posté par
Marc35re : Corde entretenue 16-03-11 à 19:17

Bonsoir,
A mon avis, on a :
3$y_1(0,t)\,=\,(\alpha_1\,+\,\beta_1)\,e^{i\omega t}\,=\,0\,\Rightarrow\,\fbox{\alpha_1\,+\,\beta_1\,=\,0}
Et :
3$y_2(l,t)\,=\,(\alpha_2\,e^{-i\frac{\omega}{c}l}\,+\,\beta_2\,e^{+i\frac{\omega}{c}l})e^{i\omega t}\,=\,0\,\Rightarrow\,\fbox{\alpha_2\,e^{-i\frac{\omega}{c}l}\,+\,\beta_2\,e^{+i\frac{\omega}{c}l}\,=\,0}
Et :
3$y_1(\frac{l}{2},t)\,=\,y_2(\frac{l}{2},t)
3$\alpha_1\,e^{-i\frac{\omega}{c}\frac{l}{2}}\,+\,\beta_1\,e^{+i\frac{\omega}{c}\frac{l}{2}}\,=\,\alpha_2\,e^{-i\frac{\omega}{c}\frac{l}{2}}\,+\,\beta_2\,e^{+i\frac{\omega}{c}\frac{l}{2}}\,\Rightarrow\,\fbox{(\alpha_1\,-\,\alpha_2)\,e^{-i\frac{\omega}{c}\frac{l}{2}}\,+\,(\beta_1\,-\,\beta_2)\,e^{+i\frac{\omega}{c}\frac{l}{2}}\,=\,0}

Posté par
Nidja05re : Corde entretenue 17-03-11 à 07:49

Merci beaucoup !!!!

Par contre, je  ne commprends pas trop pourquoi on ne tient pas compte de la force F dans nos relations ?

Posté par
Marc35re : Corde entretenue 17-03-11 à 11:52

On en tient compte indirectement par la pulsation .
L'amplitude de la force n'est pas utilisée, enfin pour le moment...
C'est la force F qui impose la fréquence ( = 2 f)

Posté par
Nidja05re : Corde entretenue 20-03-11 à 11:12

Comment fait on après pour déduire alpha2, beta1 et beta2 en fonction de alpha1 ? Moi je trouve alpha2=beta2=0.

Posté par
Marc35re : Corde entretenue 20-03-11 à 16:26

Quelque chose comme ça :
3$\fbox{\alpha_1\,+\,\beta_1\,=\,0}\,\Rightarrow\,\beta_1\,=\,-\,\alpha_1
3$\fbox{\alpha_2\,e^{-i\frac{\omega}{c}l}\,+\,\beta_2\,e^{+i\frac{\omega}{c}l}\,=\,0}\,\Rightarrow\,\beta_2\,=\,\alpha_2\,e^{-2i\frac{\omega}{c}l}
3$\fbox{(\alpha_1\,-\,\alpha_2)\,e^{-i\frac{\omega}{c}\frac{l}{2}}\,+\,(\beta_1\,-\,\beta_2)\,e^{+i\frac{\omega}{c}\frac{l}{2}}\,=\,0}\,\Rightarrow\,(\alpha_1\,-\,\alpha_2)\,e^{-i\frac{\omega}{c}\frac{l}{2}}\,+\,(-\,\alpha_1\,-\,\alpha_2\,e^{-2i\frac{\omega}{c}l})\,e^{+i\frac{\omega}{c}\frac{l}{2}}\,=\,0
3$\alpha_1\left(e^{-i\frac{\omega}{c}\frac{l}{2}}\,-\,e^{+i\frac{\omega}{c}\frac{l}{2}}\right)\,-\,\alpha_2\left(e^{-i\frac{\omega}{c}\frac{l}{2}}\,+\,e^{-i\frac{\omega}{c}l}\right)\,=\,0\,\Rightarrow\,\alpha_2\,=\,\alpha_1\,\frac{e^{-i\frac{\omega}{c}\frac{l}{2}}\,-\,e^{+i\frac{\omega}{c}\frac{l}{2}}}{e^{-i\frac{\omega}{c}\frac{l}{2}}\,+\,e^{-i\frac{\omega}{c}l}}
D'où :
3$\beta_2\,=\,\alpha_2\,e^{-2i\frac{\omega}{c}l}\,=\,\alpha_1\,\frac{e^{-i\frac{\omega}{c}\frac{l}{2}}\,-\,e^{+i\frac{\omega}{c}\frac{l}{2}}}{e^{-i\frac{\omega}{c}\frac{l}{2}}\,+\,e^{-i\frac{\omega}{c}l}}\,e^{-2i\frac{\omega}{c}l}

On a donc \beta_1,\,\alpha_2,\,\beta_2  en fonction de  \alpha_1...

Posté par
Nidja05re : Corde entretenue 20-03-11 à 21:34

D'accord, merci.

En fait, je trouvais à peu près ça mais ça me semblait un peu gros. Et après j'ai essayé avec la 2eme equation à mettre en egalite les parties reelles et les parties imaginaires, et je trouvais aplha2+beta2=0 et alpha2-beta2=0, donc alpha2=0=beta2.

Posté par
Nidja05re : Corde entretenue 21-03-11 à 08:01

J'ai un nouveau probleme :

Le vibreur impose au point I d'executer un mouvement sinusoïdal d'amplitude constante y0.
Calculer l'amplitude F0 des oscillations de la force exercee en I.

Quelle est la différence entre y0 et F0 là ? C'est toutes les deux des amplitudes du mouvement du au vibreur, non ?

Posté par
Marc35re : Corde entretenue 21-03-11 à 10:02

Non, y0 est l'amplitude du déplacement de la corde (==> une distance) tandis que F0 est l'amplitude d'une force.
Physiquement, ce n'est pas du tout la même chose.

Posté par
Nidja05re : Corde entretenue 21-03-11 à 10:11

D'accord. Par contre je ne vois pas comment calculer F0. C'est pas y0=F0coswt ?

Posté par
Marc35re : Corde entretenue 21-03-11 à 14:02

Ben non... Même chose...
Du point de vue dimension, y0 (distance) ne peut pas être égal à F0 (force) (le cos étant sans dimension).


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