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Corde élastique et équations
Bonjour, voilà mon exercice et mes réponses 
:
L'extrémité S d'une corde élastique est reliée à un vibreur qui lui impose un mouvement oscillatoire vertical, sinusoïdal de fréquence f=100Hz et d'amplitude Ym.
Chaque point de la corde est repéré par son abscisse x et son élongation verticale y dans le repère (Oxyz), O désignant la position d'équilibre de S.
Le mouvement de S débute à l'instant t=0.
Un dispositif amortisseur placé à l'autre extrémité de la corde empêche la réflexion de l'onde issue de S.
1.On cherche à déterminer les caractéristiques du mouvement de S c'est-à-dire à déterminer l'équation horaire ys(t).
Pour cela on donne les conditions initiales suivantes : à t=0, S passe par sa position d'équilibre avec une vitesse de v0
verticale ascendante de norme v0=2,5m.s-1.
Déterminer ys(t) et donner les valeurs numériques de tous les paramètres.
2.La plus petite distance entre deux points vibrant en opposition de phase étant d=6,0cm, en déduire la longueur d'onde et la célérité de l'onde.
3.On considère maintenant un point M de la corde d'abscisse xM=21cm.
a)Exprimer littéralement et calculer la valeur numérique de son retard (noté θ) par rapport à S. Quelle est alors son équation horaire yM(t) (expression littérale) ?
b)Représenter sur le même graphe yS(t) et yM(t) en prenant comme axe des abscisses ωt et non t (pour simplifier l'échelle). Préciser le déphasage entre les deux courbes.
4.On étudie maintenant la corde à l'instant t1=40ms.
a)Calculer sa période spatiale et déterminer la fonction yt1(x) décrivant l'élongation de la corde à cet instant.
b)Représenter graphiquement yt1(x) en indiquant sur le schéma la période spatiale.
On pourra utiliser les formules trigonométriques suivantes :
cos(a-π/2)=sin(a) et sin(a-b)=sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)
Voilà mes réponses :
1. On a Ymcos(ωt+kx)
Or ω=2
/2=200 car T=1/f=1/100=0,01s
k=ω/c or c=2,5m.s-1
donc k=200/2,5=80
Donc on a :
ys(t)=Ymcos(200t+80x)
2.On a 1/2
=6,0cm d'où =12cm
v=/T=0,012/0,01=12m.s-1
3.Je pense faire 0,021 divisé par la vitesse de l'onde.
Je ne vois pas comment obtenir l'équation horaire.
4.
Merci pour l'aide apportée
Bonjour,
L'abscisse de la source est nulle, me semble-t-il.
Pour un point M, d'abscisse x, l'onde se propageant dans le sens positif, on obtient :
yM(t)=Ym.cos(wt-kx).
Oui, il s'agit d'une erreur, je me suis appuyée sur un exercice où l'onde se propageait dans le sens inverse, et j'ai oublié de changer le signe.
Help !
J'ai trouvé un retard de 17,5ms pour la 3.a) mais je ne vois pas comment "exprimer littéralement" cela.
Et pour yM(t), suffit-il de remplacer t par t+0,0175 ?
v=/T=0,012/0,01=12m.s-1
Le résultat final est bon mais pas les calculs intermédiaires :
12cm = 0,012m???? ; 0,012/0,01 = 12????
J'imagine tout de même que, si tu as été acceptée en Math Sup, tu sais ce qu'est une formule littérale. D'ailleurs, au niveau où tu es, tous les raisonnements doivent se faire littéralement c'est à dire avec des lettres et tu fais une application numérique ensuite.
Je te soupçonne d'avoir appris la formule : yM(t)=Ym.cos(wt-kx) sans la comprendre ! d'ailleurs, un des buts de l'exercice est de la retrouver en réfléchissant, pas en faisant appel à ta mémoire.
Je te refais le raisonnement :
Le point M est à la distance x de la source S, l'onde se propage à la vitesse c ; le point M reproduit donc le mouvement de S avec un retard
= x/c . L'ordonnée du point M à la date t est l'ordonnée qu'avait le point S à la date (t-). Pour obtenir YM, il suffit de remplacer t par (t-) dans l'expression de YS.
Si tu le juges utile, tu peux poser k = 2
/.J'ai beaucoup de mal à comprendre les formules, c'est vrai 
On a corrigé l'exercice en classe et il y quelques petites choses que je ne comprends pas :
1. D'où vient le Ym=4mm et le w=628rad.s-1 (d'après la prof) ???
3.a) Pour le retard pourquoi faut-il faire t- dans la formule et non t+ ???
Vu qu'il y a un retard, pour moi il faut ajouter du temps (je sais que c'est faux bien sûr mais je n'ai pas compris le truc)
b)D'où vient le -7/2 dans la formule yM(t)=Ym*sin (wt-(7/2)) ??
4.a) Comment passe-t-on de yt1(x)=YM*sin (wt- (2x/)) qui est égal à -YM*sin (x/(6*10-2)) ???
Désolée si mes questions paraissent bêtes mais j'ai vraiment beaucoup de mal avec les équations
J'ai beaucoup de mal à comprendre les formules, c'est vrai
C'est sûr qu'il va falloir t'accrocher : le programme de Math Sup commence l'année par les parties les plus faciles...
D'où vient le Ym=4mm et le w=628rad.s-1
=2f : il ne faut pas hésiter sur des formules aussi simples !
Si YS(t)=Ym.cos(
t), quelle est l'expression générale de la vitesse de S?
Pour le retard pourquoi faut-il faire t-
dans la formule et non t+ ??? Suppose que tu décides de reproduire à l'identique ce que fait ta voisine avec un retard
=1min. Ce que tu fais à la date t=22h58min est ce que faisait ta voisine à la date ???
La suite correspond aux applications numériques des formules littérales que je t'ai démontrées.
D'accord, je vois mieux maintenant :
Ym=v0/w=2,5/628=4.10-3m=4mm et le 7pi/2 vient de kx=(w/c)*x=(628/12)*0,021=7pi/2
Pour le déphasage de pi/2, est-ce que c'est parce que 7pi/2=3*2pi + pi/2 (il y aurait un "modulo" 2pi, comme quand par exemple cos(x+2pi)=cos(x) car cos(x) est 2pi-périodique) ?
Enfin, j'ai tendance à confondre vitesse ascendante verticale de norme v0=2,5m.s-1 et la célérité de l'onde.
v0 désigne-t-il en fait la vitesse de la corde à t=0 ?
La situation semble s'éclaircir !
Il ne faut pas confondre la célérité ou vitesse de propagation souvent notée c avec la vitesse de déplacement verticale d'un point sous l'action de l'onde qui vaut ∂Y(t)/∂t.
Si yM(t)=Ym.cos(wt-kx), la vitesse de M à la date t est la dérivée partielle de y par rapport à t, c'est à dire la dérivée calculée par rapport à t en considérant x comme une constante.
VM(t)=-wYm.sin(wt-kx).
Sinon, tu as raison pour le reste.
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