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coordonnées polaires
bonsoir à tous.
Voila un petit moment que j'ai quitté les bancs de l'école et j'aurais besoin d'aide pour retrouver la formule de l'angle définissant les coordonnées polaires d'un point M (
,
).
voici les données: Soit un repère orthonormé (0,
,
)
Les coordonnées cartésiennes du point M sont: M=(-x,y)
Nous appelerons le vecteur OM=
=(,)
j'ai posé 
= 
-
on a donc : cos= x/|||| et sin=y/||||
Il vient: tan()=y/x 
tan(-)=y/x
d'aprés moi il y a 2 façon d'écrire l'angle:
1ere façon: tan(-)=y/x = -tan()= y/x = arctan( -(y/x))
2eme façon: -= arctan (y/x) = - arctan (y/x)
cependant, sur internet les formules données pour l'angle lorsque (x<0 et y>0) est: = + arctan(y/x)
mes résultats sont ils bon (équivalence avec cette dérnière formule?)? comment arriver à ce dernier résultat sinon?
Merci d'avance pour vos réponses
Il ne faut pas écrire M=(-x.vect(i) ; y.vect(j))
x est l'abscisse cartésienne de M et x peut être négatif, nul ou positif.
Quelle que soit la position de M, on a en coordonnées cartésiennes M(x ; y)... Et certainement pas M(-x : y) lorsque x est < 0.
Et on a alors en coordonnées polaires:
Phi = arctg(y/x) si x > 0 (quel que soit le signe de y)
Phi = Pi + arctg(y/x) si x < 0 (quel que soit le signe de y)
Phi étant défini à 2kPi près.
MAIS, il faut évidemment mettre x et y avec leurs signes dans ces expressions.
C'est ainsi que si par exemples:
x = -2 et y = +3, on aura Phi = Pi + arctg(y/x) = Pi + arctg(-2/3) = Pi - arctg(2/3) = 2,55359... rad (qui est un angle dans le 2eme quadrant, ce qui est normal).
x = -2 et y = -3, on aura Phi = Pi + arctg(y/x) = Pi + arctg(2/3) = 3,729... rad (qui est un angle dans le 3eme quadrant, ce qui est normal).
Si on veut la mesure principale de Phi (donc raménée dans [-Pi ; Pi[), on peut retirer 2Pi et on obtient : Phi : Pi + arctg(2/3) - 2Pi = -2,55359... rad
x = 2 et y = 3, on aura Phi = arctg(y/x) = arctg(2/3) = 0,588... rad (qui est un angle dans le 1er quadrant, ce qui est normal).
x = 2 et y = -3, on aura Phi = arctg(y/x) = arctg(2/(-3)) = -arcg(2/3) = -0,588... rad (qui est un angle dans le 4eme quadrant, ce qui est normal).
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Il faut très fort se méfier de calculer un angle via un arctg, car la tangente est définie à k.Pi près, alors qu'on veut obtenir une valeur de l'angle Phi à 2k.Pi près.
Lorsqu'on veut calculer l'angle Phi pour un vecteur x.vect(i) + y.vect(j)
On peut le faire de 2 manières :
1° via l'arctg mais en prenant la précaution de prendre la formule adéquate en fonction du signe de x
Si x > 0 : Phi = arctg(y/x)
Si x < 0 : Phi = Pi + arctg(y/x)
2° via les cos et sin de Phi
x.vect(i) + y.vect(j) = V(x²+y²).[x/V(x²+y²).vect(i) + y/V(x²+y²).vect(j)]
Et on a:
cos(Phi) = x/V(x²+y²)
sin(Phi) = y/V(x²+y²)
Une valeur de Phi qui satisfait SIMULTANEMENT ces 2 relations convient... Attention bien entendu de tenir compte des signes de x et de y.
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Sauf distraction. 
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