Bonjour
La situation est ici très simple. Si les coordonnées cartésiennes de M sont (x,y,z) quelle est la valeur de la norme de OM notée r en coordonnées sphériques ?

On a donc ?

Oui ! Tout simplement !

J'aurais une autre question : dans les premières questions de l'exercice, on nous donne le champ de vecteurs où est le module du vecteur position.

On nous demande d'écrire les composantes de en coordonnées cartésiennes, j'ai :
.

Je pense que c'est bon mais je bloque pour écrire en coordonnées sphériques.

J'imagine que les vecteurs unitaires de la base sphérique sont . Ton vecteur est tout simplement un vecteur unitaire colinéaire à :

Oubli de ma part : ton expression du vecteur en coordonnées cartésiennes est correcte.

C'est compris, merci beaucoup pour votre aide !
Dernière question, que vaut la divergence de en coordonnées sphériques ?
En appliquant directement la formule de la divergence en coordonnées sphériques, je trouve , est-ce bon ?

Non !
En sphérique, la seule composante de non nulle est celle suivant et cette composante ne dépend pas de r. La divergence de ce vecteur est donc nulle .
Comment as-tu fait ton calcul pour arriver à ton résultat ?

J'ai utilisé cette formule comme n'a pas de composantes selon et .
Mais j'ai dérivé qui valait 1 pour moi... j'ai compris mon erreur.
Par contre dans la formule je ne comprends pas pourquoi le et dans la dérivée.

Bonjour,

Bonsoir MattZ
C'est moi qui suis allé un peu trop vite en besogne dans mon message de 19h41. On obtient bien, puisque la seule composante non nulle du vecteur est celle suivant r :



Obtenir zéro comme je l'avais écrit par erreur est en contradiction avec le théorème d'Ostrogradski. En effet, selon ce théorème, un vecteur ayant une divergence nulle en tout point est à flux conservatif : le flux de ce vecteur à travers une surface fermée quelconque est nul ; cela n'est évidemment pas le cas pour le vecteur défini ici. Mais ce théorème n'est peut-être pas encore à ton programme...

Merci pour toutes vos réponses !
Le théorème d'Ostrogradski correspond à la question suivante  :  on veut calculer le flux de à travers une surface S fermée , définie par une sphère de centre O et de rayon R.  
J'intègre donc = , soit la surface de la sphère. La question suivante nous demande d'expliquer ce résultat mais là je ne vois pas. Je suis preneur d'une petite indication.
Merci d'avance.

Il s'agit dans cette question de vérifier, sur un cas simple, le théorème d'Ostrograski. Pour une surface fermée, ici une sphère de centre O et de rayon R, il s'agit de vérifier :


L'intégrale de surface représente le flux du vecteur à travers la sphère. Le vecteur représente un vecteur normal à la surface, orienté vers l'extérieur de la sphère, de norme dS : aire élémentaire. Le produit scalaire  est ici particulièrement simple... Je te laisse réfléchir.
PS : puisque les opérateurs sont beaucoup utilisés en électromagnétisme où la lettre "V" est réservée au potentiel électrique et en dynamique des fluides où la même lettre est réservée à la vitesse, il est fréquent de noter d le volume élémentaire et le volume.

On a . Je ne pense pas que ce soit ça parce que je ne peux pas intégrer après. (PS: je sais que c'est un double intégrale fermée mais je n'arrive pas à l'écrire).

L'intégrale devient simplissime à calculer... Inutile de faire intervenir et :

Ok pour le calcul de l'intégrale mais pourquoi a-t-on ?

J'ai fourni la réponse dans mon message de 10h56.
J'espère que tu as en tête, l'expression de l'aire S d'une sphère de rayon R.

D'accord merci !
Oui S=4𝜋R², c'est la valeur de l'intégrale donc du flux de à travers la sphère. Comment interpréter ce résultat ? Cela veut-il simplement dire que est une sphère ?

Un vecteur égal à une sphère ??????
: le vecteur est ainsi un vecteur unitaire, radial et centrifuge. Il est donc logique que son flux à travers une sphère de centre O soit tout simplement l'aire de la sphère. Je t'ai fourni les justifications dans les messages précédents. Expliquer cela proprement me semble suffisant.
Cependant le plus important à mon avis dans ce contexte est la vérification du théorème d'Ostrogradski. Le flux du vecteur à travers la sphère est égale à l'intégrale de la divergence du vecteur étendue au volume délimité par cette sphère.
As-tu réussi à démontrer proprement :

  ?
On constate bien ainsi que le théorème d'Ostrogradski est vérifié.

Oui, j'ai fais le calcul et j'ai retrouvé la surface de la sphère.
J'avais juste du mal à interpréter ce que représente un flux mais c'est plus clair maintenant, merci à vous.

Ensuite, je dois calculer en coordonnées sphériques la circulation du champ vectoriel le long du segment de droite AB, où A et B sont deux points quelconques de l'espace alignés avec le centre O, en fonction de et .

Soit la circulation de le long du segment AB.

car la circulation ne dépend pas de et . Etes-vous d'accord ?
Logiquement on devrait trouver qui est le diamètre du cercle. Mais je trouve 0 en intégrant...

D'accord avec ta façon de poser le calcul intégral mais pas d'accord avec le résultat.


Résultat dont l'interprétation est simple. Puisque , le vecteur et le vecteur déplacement élémentaire sont colinéaires.
Si rB>rA : le déplacement de A à B se fait dans le sens du vecteur : la circulation de A à B est positive et égale à la longueur du segment  (AB) :


Si rB<rA le déplacement de A à B se fait dans le sens inverse de celui du vecteur : la circulation de A à B est négative et égale à l'opposé de la longueur du segment (AB) :


Fait éventuellement un schéma pour t'aider à comprendre.

Au temps pour moi, je trouvais 0 car je considérais que les deux points étaient sur la sphère alors qu'ils sont quelconques...

Dans la suite, on doit calculer le rotationnel de.
Je trouve , grâce à la formule du rotationnel en coordonnées sphériques.

Ensuite, on doit trouver un champ de scalaire tel quel . Comme le rotationnel est nul, on sait que g existe.
Donc j'ai écrit l'expression du gradient de en coordonnées sphériques puis j'ai procédé à une identification avec les coefficients de pour déterminer ceux de .
J'obtiens que avec a et b des constantes. J'ai un doute sur ces constantes, je ne suis pas sûr qu'elles soient utiles.
Qu'en pensez-vous ?

D'accord avec ton rotationnel égal au vecteur nul.
Pour l'expression de g, puisque a et b sont deux constantes, (a+b) est une constante qui peut se noter K ; donc :
g=r+K
Impossible d'aller plus loin sans fixer une condition supplémentaire arbitraire particulière, par exemple g= 0 au centre O.
Cela est habituel quand un vecteur dérive d'un potentiel scalaire. Je ne connais pas ton programme ; je vais te citer deux exemples classiques au hasard. Une force conservative dérive d'une énergie potentielle par la relation :

Connaissant la force, il n'est possible de connaître l'énergie potentielle qu'à une constante près, d'où l'intérêt, par exemple, de fixer arbitrairement un niveau d'énergie potentielle nul ; cela n'est pas physiquement gênant puisque seules les variations d'énergies potentielles ont un intérêt physique.
Idem en électrostatique où le vecteur champ dérive d'un potentiel par la relation :

seules les différences de potentiel ont un intérêt physique...

Merci pour ces exemples, la deuxième relation est dans mon cours d'électrostatique mais on ne l'a pas encore traitée. La question suivante demande de calculer la même circulation AB en utilisant la propriété du gradient, ça c'est bon et je trouve le même résultat que plus haut, exo fini donc.

Je vous remercie beaucoup pour votre aide, ce n'est pas évident d'avoir des réponses rapides de nos profs en ce moment...

A bientôt sûrement