Niveau autre

Conversion coordonnées sphériques/cartésiennes

Posté par
Lok10 07-01-09 à 17:22

Bonjour tout le monde

Voila je cherche à convertir une équation exprimée en coordonnées sphériques en coordonnées cartésiennes, j'ai un résultat mais j'ai un doute sur certains points. Voici l'équation :

$\vec{v}=\phi'\rho\vec{e_\phi}+\theta'\rho sin(\phi)\vec{e_\theta}$

On sait qu'en coordonnées cartésiennes :
$\vec{e_\phi}=-sin(\phi) \vec{e_x}+cos(\theta) \vec{e_y}$
$\vec{e_\theta}=cos(\theta) cos(\phi) \vec{e_x} + cos(\theta) sin(\phi) \vec{e_y} - sin(\theta) \vec{e_z}$

Je détaillerai les calculs si besoin, mais en remplaçant dans l'équation de départ, on tombe sur :

$\vec{v}= \rho sin(\phi) (\theta' cos(\theta) cos(\phi) - sin(\phi)) \vec{e_x} + \rho cos(\theta) (\phi' + \theta' sin^2(\phi) ) \vec{e_y} - \theta' \rho sin(\phi) sin(\theta) \vec{e_z}$

Et la, plus rien... Il a les $\phi$ et les $\theta$ en trop.
J'ai cru comprendre qu'on devait trouver :
$\theta = \frac{Vo*t}{\rho}$ et $\phi = \omega *t$

Ce qui donne en remplaçant :

$\.\array{rcl$\vec{e_x}&=&Vo*sin(\omega t) cos( \frac{Vo*t}{\rho}) cos(\omega t) - \omega \rho sin(\omega t) \\ \vec{e_y}&=&Vo*sin^2(\omega t) cos(\frac{Vo*t}{\rho}) + \omega \rho cos(\frac{Vo*t}{\rho}) \\ \vec{e_z}&=&-Vosin\omega t) sin(\frac{Vo*t}{\rho})}\}$

Est-ce que ce résultat est bon ? Si oui comment trouve t-on les expressions de $\phi$ et $\theta$ ? Sinon où est l'erreur ?
Merci d'avance