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Niveau maths spé
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Conservation du moment cinétique/Moment d'inertie

Posté par
lea75014
15-06-24 à 14:27

Bonjour,

Je travaille sur une balle de tennis en vol, et j'aimerais montrer que si le moment d'inertie de la balle diminue alors la rotation de la balle augmente, mais je ne sais pas comment le montrer. Pour moi il faudrait dire que le moment cinétique se conserve ( car pas de force extérieur ) mais le problème c'est qu'en vol on ne peut pas négliger la force de trainée. Ou il faudrait dire que le moment de la force de trainée est nul, mais je ne sais pas trop.

Merci par avance de votre aide

Posté par
vanoise
re : Conservation du moment cinétique/Moment d'inertie 15-06-24 à 15:00

Bonjour
Tu peux appliquer à la balle le théorème de König sur le moment dynamique en G. Tu peux ainsi assez facilement montrer que le moment cinétique barycentrique se conserve si le moment  en G des actions extérieures est nulle. On peut considérer le moment de la force de traînée nul en G. En effet, on peut considérer cette force comme la résultante des forces de pression exercées par l'air sur la balle, la pression étant plus faible sur l'hémisphère arrière que sur l'hémisphère avant. Cela n'est vrai que si la balle reste immobile dans le référentiel barycentrique : pas d'effet "coupé" ou "lifté".

Posté par
lea75014
re : Conservation du moment cinétique/Moment d'inertie 15-06-24 à 15:07

Mon problème est que j'étudie la balle lorsqu'elle est en rotation donc elle n'est pas immobile. Comment puis-je faire dans ce cas ?

Posté par
vanoise
re : Conservation du moment cinétique/Moment d'inertie 15-06-24 à 16:37

OK ; je n'avais pas compris que tu cherches aussi à tenir compte de l'effet Magnus. La rotation de la balle dans le repère barycentrique modifie les lignes de courants d'air autour de la balle et modifie la zone de plus basse pression de sorte que la résultante des forces de pression possède ainsi une composante suivant -\vec{V_G} (la force de traînée) et une composante perpendiculaire à -vec{V_G} (force de Magnus). Puisqu'il s'agit de forces de pression, tu peux considérer que les moments en G de ces forces sont nuls. Reste la force de viscosité exercée par l'air qui se traduit par un couple très faible qui tend à diminuer exponentiellement à vitesse angulaire de la balle dans G avec une constante de temps qui peut être déterminée expérimentalement.
Jusque là, la théorie est la même que pour une balle de golf. La balle de tennis pose un problème supplémentaire : elle est déformable et ne reste pas tout à fait sphérique. Il faudrait parler de matrice d'inertie... Cela devient délicat. Tu pourrais peut-être négliger ce phénomène. En tous cas, cette déformation de la balle ne s'accompagne pas d'une augmentation de son volume. Il y a bien diminution au cours du temps de la vitesse angulaire de rotation propre comme expliqué au dessus.

Posté par
lea75014
re : Conservation du moment cinétique/Moment d'inertie 15-06-24 à 17:48

J'ai du mal à comprendre pourquoi comme il s'agit de force de pression les moments de ces forces sont nuls

Posté par
vanoise
re : Conservation du moment cinétique/Moment d'inertie 15-06-24 à 18:26

J'assimile la balle à une boule de centre G et de rayon R. Soit un point M quelconque de sa surface entouré d'une surface élémentaire de vecteur d\overrightarrow{S} radial orienté vers l'extérieur de la balle. L'air exerce sur cette surface élémentaire la force élémentaire :

d\overrightarrow{F}=-P_{(M)}.d\overrightarrow{S} où P(M) est la pression de l'air en M.

Le moment élémentaire en G de cette force est :

d\overrightarrow{M_{G}}=\overrightarrow{GM}\wedge d\overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}

car ces vecteurs sont colinéaires. En intégrant sur toute la surface de la balle, on obtient bien un moment en G nul même si, comme expliqué dans le précédent message, la pression n'est pas la même en tout point de la surface.

Posté par
lea75014
re : Conservation du moment cinétique/Moment d'inertie 15-06-24 à 18:31

Merci beaucoup pour l'explication, c'est très clair comme ça ! Bonne soirée :)



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