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Connaissance requise pour supraconducteur

Posté par
EvDavid
18-06-19 à 04:19

Bonsoir,

En travaillant un exercice d'oral je me suis retrouvé bloqué face à une question car je ne trouvais pas la bonne équation.
Voici l'énoncé : un matériau supraconducteur occupe le demi espace x>0 et un champ magnétique uniforme \vec{B}=B_{0}\vec{e_{z}}. On nous donne l'équation de London et on nous demande de trouver l'équation vérifiée par le champ magnétique dans le supraconducteur.
Quand je regarde le corrigé car j'ai bloqué après je trouve qu'ils utilisent l'équation de Maxwell Ampère dans le cas stationnaire et non dans le cas variable.
J'aimerai vous demander quels sont les possibles considérations qui ont été faite pour choisir de travailler en régime stationnaire et non en régime variable.

Merci d'avance,

Posté par
vanoise
re : Connaissance requise pour supraconducteur 18-06-19 à 12:45

Bonjour
Je raisonne dans le cas d'un conducteur de conductivité . Si je comprends bien, ton problème consiste à comparer l'amplitude de la norme du vecteur densité de courant de conduction \overrightarrow{j}=\gamma\cdot\overrightarrow{E} à la norme du vecteur densité de courant de déplacement : \overrightarrow{j_{D}}=\varepsilon_{o}\cdot\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}
En régime sinusoïdal établi :

\dfrac{\Vert\overrightarrow{j}\Vert_{max}}{\Vert\overrightarrow{j_{D}}\Vert_{max}}=\dfrac{\gamma}{\varepsilon_{o}\cdot\omega}
Je te laisse conclure...

Posté par
EvDavid
re : Connaissance requise pour supraconducteur 18-06-19 à 19:54

Bonjour,

Merci pour votre réponse mais malheureusement je ne possède pas des ordres de grandeur de ni de \gamma ni de \omega ( je n'en connais pas personnellement et ils ne sont pas fournis par l'énoncé ).
De plus il y a d'autres bizarreries par exemple, à priori nous ne savons pas s'il y a un courant dans le matériau , donc nous ne savons pas s'il y a un champ magnétique dans le supraconducteur. Quand nous utilisons \vec{rot}\vec{B}=\mu _{0}\vec{j} alors cela veut bien dire qu'il y a un champ magnétique et une densité volumique de courant et que nous cherchons à déterminer ce champ. Mais on n'en sait rien à priori. Je me demande ce qui légitime cette démarche.
Encore plus, à un certain moment l'énoncé évoque l'invariance par translation suivant les axes Oy et Oz pour éliminer les variables y et z dans le champ. Mais il ne précise pas qu'est ce qui est invariant. Je ne vois aucune distribution de courant dans ce problème.
Peut-être qu'il y a des informations sur le supraconducteur que j'ignore, par exemple il génére un courant automatiquement ?

J'espère que vous pourrez m'aider afin de traiter cet exercice dans toute la rigueur possible.

Merci d'avance,

Posté par
vanoise
re : Connaissance requise pour supraconducteur 18-06-19 à 23:09

J'ai essayé ce matin de te fournir quelques pistes de réflexion sans répondre exactement à la question posée. Je n'ai manifestement pas été compris. Je détaille donc un peu plus en conservant les notations de ce matin. Je n'ai pas l'énoncé précis mais il s'agit je pense d'expliquer pourquoi, en régime variable périodique, il est possible d'utiliser l'équation de Maxwell - Ampère rigoureusement valide en régime permanent seulement. L'équation générale s'écrit :

\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{B}\right)=\mu_{o}\cdot\left(\overrightarrow{j}+\overrightarrow{j_{D}}\right)

Pour se permettre d'appliquer en régime variable périodique l'équation valide en régime permanent, il faut que l'on ait :

\Vert\overrightarrow{j_{D}}\Vert\ll\Vert\overrightarrow{j}\Vert\;\forall t

Or dans un conducteur en régime sinusoïdal établi, j'ai montré ce matin :

 \\ \dfrac{\Vert\overrightarrow{j}\Vert_{max}}{\Vert\overrightarrow{j_{D}}\Vert_{max}}=\dfrac{\gamma}{\varepsilon_{o}\cdot\omega}

Dans un conducteur métallique courant (cuivre, argent...) la conductivité est de l'ordre de 108S/m. Il faut monter en fréquence jusqu'aux rayons X pour que jD ne soit pas négligeable devant j. En plus ici, le milieu est supra conducteur. L'étude d'un tel milieu n'est pas à ton programme et relève de la mécanique quantique mais tu dois tout de même savoir qu'on peut, en première approximation, considérer le supra conducteur comme un conducteur de conductivité infini. On peut donc négliger jD à toute fréquence.

Posté par
EvDavid
re : Connaissance requise pour supraconducteur 19-06-19 à 00:28

Bonsoir,

Merci pour vos réponses. Ce raisonnement en ordre de grandeur me manquait effectivement.
Sinon pourriez-vous m'expliquer pourquoi on utilise l'équation de Maxwell-Ampère alors qu'on a pas à priori un courant dans le supraconducteur s'il vous plaît ?
Il y a aussi cette histoire d'invariance selon les axes Oy et Oz qui laisse penser qu'il y a une distribution de courant quelque part mais rien n'est indiqué dans l'énoncé.
(L'énoncé est réellement tel que je l'ai donné, un supraconducteut qui occupe le demi-espace x>0 et un champ magnétique uniforme dans l'autre moitié de l'espace)

Merci d'avance,

Posté par
vanoise
re : Connaissance requise pour supraconducteur 19-06-19 à 10:17

Tu précises bien que le champ magnétique est uniforme pour x<0 mais tu ne précises pas si ce champ magnétique varie au cours du temps.

Citation :
pourriez-vous m'expliquer pourquoi on utilise l'équation de Maxwell-Ampère alors qu'on a pas à priori un courant dans le supraconducteur s'il vous plaît ?

Il est fréquent en physique de partir d'un résultat général pour se limiter ensuite à l'étude d'un cas particulier. On peut d'ailleurs démontrer simplement par l'absurde que la densité volumique de courant est nulle dans un conducteur de conductivité infinie. On démontre, dans le cas général d'un conducteur ohmique que la puissance instantanée dissipée par unité de volume est : p_v=\gamma\cdot E^2.
Cette puissance volumique ne pouvant pas être infinie, le vecteur champ électrique est nécessairement le vecteur nul en tout point du conducteur et à chaque instant.
Citation :
il y a une distribution de courant quelque part

Une discontinuité du vecteur champ d'induction magnétique B en x=0 engendre l'existence d'une distribution de courant surfacique.
Difficile d'en dire plus sans énoncé plus précis.

Posté par
EvDavid
re : Connaissance requise pour supraconducteur 19-06-19 à 19:35

Bonjour,

Je vous remercie pour vos réponses. Le champ en x<0 est indépendant du temps.
Est-ce qu'on considère qu'il y a déjà un champ magnétique dans le supraconducteur s'il vous plaît ? afin d'utiliser la discontinuité du champ en x=0.
Sinon, pouur la puissance instantanée dissipée par unité de volume p_{v}=\gamma E^{2} pourquoi on conclut que le vecteur champ électrique est nécessairement nul en tout point du conducteur et à chaque instant ? Car si E=cte alors cette puissance volumique ne peut pas devenir infinie non ? Par contre la puissance peut être infinie si le conducteur est infini aussi.

Je recopie l'énoncé mot pour mot : On dispose d'un matériau supraconducteur dans le demi-espace x>0. Dans le demi-espace x<0 règne un champ magnétique uniforme et constant \vec{B_{0}}=B_{0}\vec{e_{z}}.
Le matériau supraconducteur est caractérisé par la loi locale liant la densité volumique de courant \vec{j} et le champ magnétique \vec{B}, appelée équation de London : \vec{rot}\vec{j}=-\frac{\vec{B}}{\mu _{0}\lambda ^{2}}


Merci d'avance,

Posté par
vanoise
re : Connaissance requise pour supraconducteur 19-06-19 à 22:07

Citation :
Par contre la puissance peut être infinie si le conducteur est infini aussi.

Tu ne m'as pas bien lu : j'ai raisonné sur la puissance volumique, pas sur la puissance dissipée par l'ensemble du conducteur.
Sinon : indiquer dès ton premier message que l'étude se fait en régime permanent m'aurait évité quelques développements hors sujet ici. Mais bon : ces rappels peuvent tout de même être utiles dans d'autres exercices.
J'ai précisé aussi que le courant devait être surfacique ; il s'agit de la modélisation la plus courante mais ici, l'exercice demande d'aller un peu plus loin : une densité surfacique de courant est un modèle simplifié : en réalité, il s'agit d'une distribution volumique de courant mais avec j qui diminue très rapidement en fonction de la profondeur z dans le supraconducteur, un peu comme pour l'étude de l'effet de peau en électromagnétisme.
Pour les calculs, il suffit de connaître le grand classique que constitue le rotationnel du rotationnel d'un vecteur : on arrive sans difficulté aux deux équations différentielles :

\overrightarrow{\Delta}\left(\overrightarrow{B}\right)=\dfrac{\overrightarrow{B}}{\lambda^{2}}\quad;\quad\overrightarrow{\Delta}\left(\overrightarrow{j}\right)=\dfrac{\overrightarrow{j}}{\lambda^{2}}

Posté par
EvDavid
re : Connaissance requise pour supraconducteur 19-06-19 à 23:01

Bonsoir,

Merci pour vos réponses.
En fait, j'avais bien lu que c'était une puissance volumique mais je ne comprends pas pourquoi elle peut être infinie comme par exemple d'un champ éléctrique constant et uniforme.
Sinon, en ce moment même je ne comprends pas pourquoi l'étude est faite en régime permanent.
Vous avez raison, le courant et le champ décroient très rapidement dans le supraconducteur. Mais, à part appliquer les équations directement, je ne comprends pas la physique derrière. Nous ne disposons ni d'un courant à l'intérieur du supraconducteur qui va créer un champ, ni d'une cause par induction par exemple si le supraconducteur se déformait et que cela créait un courant .....
Et encore je ne comprends pas cette invariance par translation qui tombe du ciel dans l'exercice.

Merci d'avance,

Posté par
vanoise
re : Connaissance requise pour supraconducteur 19-06-19 à 23:25

Citation :
mais je ne comprends pas pourquoi elle peut être infinie

Ce n'est pas ce que j'ai écrit ! Je cite mon message de ce matin : Cette puissance volumique ne pouvant pas être infinie, le vecteur champ électrique est nécessairement le vecteur nul en tout point du conducteur et à chaque instant.

Citation :
je ne comprends pas pourquoi l'étude est faite en régime permanent

Tu parles d'un champ magnétique uniforme et constant.
Uniforme : le même en tout point à un instant donné ;
constant : invariable...
Imagine un champ magnétostatique ( créé par un aimant ou un électroaimant parcouru par un courant continu) dans lequel tu places un échantillon de matière. Dans le cas le plus général, la matière s'aimante ; un champ magnétique existe dans le conducteur. Dans le cas particulier d'un supraconducteur, le champ magnétique diminue très vite en fonction de la profondeur de pénétration dans le conducteur de sorte qu'il est possible de considérer en première approximation le champ magnétique nul à l'intérieur du supraconducteur. C'est cette propriété que l'exercice cherche à démontrer. Pour que les calculs restent relativement simples, l'exercice se limite à l'étude des variations en fonction d'une seule coordonnée d'espace. Ce genre de modélisation est fréquent en physique : pense par exemple au cas des ondes planes...

Posté par
EvDavid
re : Connaissance requise pour supraconducteur 20-06-19 à 00:39

Bonsoir,

Je vous remercie pour votre réponse. Je n'avais pas cette vision globale de l'exercice ce qui a grandement limité ma compréhension.

Merci encore.

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