Bonsoirs j'ai un petit problème sur un exercice voici le sujet


On étudie dans cette partie la diffusion de neutrons dans un matériau homogène, selon la loi de Fick : −→j = −D gradn
où j est le vecteur densité de flux de neutrons, n est le nombre de neutrons par unité de volume (ou densité de
neutrons), D est une constante positive.
La diffusion se fait parallèlement à l'axe (Ox). Les grandeurs n et
j ne dépendent alors que de x et du temps t.
On écrira j = j(x, t).ux.


On suppose dans un premier temps que le matériau est une tige de section constante S, de longueur L, dans laquelle
il ne se produit aucune absorption ou création de neutrons.

2. En faisant un bilan de particules dans un volume de section S compris entre x et x + dx, établir l'équation
différentielle vérifiée par n.


3. En régime permanent, en notant n0 et nL les valeurs de n en x = 0 et x = L, exprimer n et j en fonction de x.
On considère maintenant que le matériau qui constitue la tige peut absorber des neutrons, et en produire par des
réactions de fission :


• Le nombre δ²Na de neutrons absorbés dans un volume élémentaire dV pendant un intervalle de temps dt est
donné par : δ²Na =n/τ



dV dt où τ est une constante positive.
• Le nombre δ²Np de neutrons produits dans le même volume élémentaire dV pendant un intervalle de temps dt
est donné par : δ²Np = k.δ²Na où k est une constante positive.


4. En faisant un bilan de particules dans un volume de section S compris entre x et x + dx, montrer que n vérifie
l'équation différentielle suivante : ∂n
∂t = D.(∂²n/∂x²)+ (k − 1)n/τ


5. Quelle équation différentielle vérifie la densité de neutrons n en régime permanent ?



On supposera dans toute la suite que le régime est permanent.



6. On suppose dans un premier temps qu'il ne se produit pas de réactions de fission dans le matériau (on a donc
k = 0).De plus on suppose que la tige a une longueur suffisamment importante pour la considérer comme infinie. Un
flux de neutrons est imposé en x = 0, de densité j (0) = j0 = j0 ux avec j0 > 0. À l'extrémité de la tige (x → +∞),
on supposera que la densité de neutrons est nulle.


6.1. Établir l'expression de la densité de neutrons dans la tige en fonction de j0, τ, D et x.


6.2. Exprimer la distance δ à partir de laquelle la densité de neutrons est égale à 1% de sa valeur en x = 0 en
fonction de D et τ.


6.3. Évaluer cette distance δ pour de l'eau ( √Dτ = 3.10−2 SI) et du carbone ( √Dτ = 0, 8 SI), connaissant
ln 100 = 4, 6. Quel est le matériau le plus efficace pour absorber les neutrons ?

7. On suppose maintenant que le matériau produit des neutrons par fission et que la quantité de neutrons produits
est supérieure à celle des neutrons absorbés (on a donc k > 1). La tige a une longueur finie L. La densité de
neutrons est supposée nulle aux deux extrémités de la tige, et uniquement en ces deux positions. On note n0 la
valeur maximale de la densité de neutrons à l'intérieur de la tige.
Exprimer n en fonction de n0, k, D, τ, et x et montrer que cette solution n'est envisageable que si la longueur de
la tige prend une valeur LC qu'on exprimera en fonction de k, D et τ.




a partir de la question 5 je bloque , j'ai trouver l'équation du second degrés égale a 0 faut il faire comme en math pour la résoudre ? ou intégrer 2 fois ?