Niveau maths spé

Conduction thermique avec absorbance

Posté par
Phy11 23-06-17 à 17:46

Bonjour à toutes et à tous !
J'ai un exercice qui me pose problème :

"On considère une cylindrique de rayon R=1 cm contenant de l'eau de conductivité thermique $\lambda$ . On éclaire la cuve selon Ox par un laser de longueur d'onde $\lambda_0$ de diamètre $\epsilon = 1$ mm et de puissance P=10 W.
On considère l'absorbance définie par : $\alpha = |(1/P)P'(x)|$ . On a : $\alpha = 20 cm^{-1}$
Les autres parois (les faces orthogonales à l'axe) sont calorifugées et la surface latérale est maintenue à une température $T_a$ . On se place en régime stationnaire

1/ Déterminer la température au sein de la cuve et trouver l'écart de température entre l'extérieur et le centre du faisceau laser."

Pour commencer, au vue des considérations de l'énoncé, j'ai considéré un problème à 1 dimension (suivant x).
J'ai déterminé l'expression de la puissance du laser. Comme $P'(x)<0$ , on a pour tout $x : P'(x)+\alpha P(x)=0$ , soit $P(x)=P\times e^{-\alpha x}$ (avec P=10 W).

Etant donné ici que P (et donc l'énergie apportée par le laser) dépend de x, j'ai raisonné sur le fait qu'il n'y a pas d'accumulation de puissance. Ainsi, j'ai obtenu :
$j_{th}(x) \pi R^2=P_{laser}$ .
Mais je ne suis pas sûr de ce que j'avance.
Merci d'avance.

Posté par re : Conduction thermique avec absorbance 23-06-17 à 18:45

Je ne suis pas certain d'avoir bien compris ton énoncé. J'imagine qu'il s'agit d'un cylindre rempli d'eau de rayon R et d'axe de symétrie (Ox). La longueur du cylindre n'est pas précisé...
Un tronçon élémentaire de cylindre compris entre les sections droites d'abscisses x et x+dx absorbe la puissance élémentaire dP1=.P(x).dx
En régime permanent, la puissance thermique évacuée radialement vers l'extérieur par conduction doit être égale à dP1. Il te suffit de calculer la résistance thermique de l'eau contenue entre le cylindre de rayon /2 et le cylindre de rayon R , les deux cylindre ayant la hauteur dx, pour obtenir la température de l'eau le long de l'axe : cette température va dépendre de x puisque le laser ne cède pas la même puissance par unité de longueur tout le long de l'axe.
Cette dépendance de la température centrale en fonction de x ne semble pas évoquée par l'énoncé... Evidemment, si le cylindre est court, un raisonnement global comme celui auquel tu as pensé est peut-être possible...

Posté par re : Conduction thermique avec absorbance 23-06-17 à 19:23

Merci pour votre réponse !

je pense avoir mieux compris ce qui se passe dans le cylindre.
On considère un cylindre de hauteur dx (la longueur du cylindre est h).

Ce cylindre reçoit dP_1= $\alpha$ P(x) dx comme puissance, puissance égale à celle libérée par conduction.
J'ai donc (pour un rayon r entre epsilon/2 et R) :
$j_{th} 2\pi r dx =\alpha P(x) dx$ .

Par symétrie et loi de Fourier :
$dT/dr=-\frac{\alpha}{2\pi r}P(x)$ .
J'intègre et j'obtiens :
$T(R)=T(\epsilon/2)-\alpha P(x)/(2\pi)\times ln( \frac{2R}{\epsilon})$ .

Mais j'ai une question : la température au centre est-elle calculable ? Là j'obtiens divergence sinon..

Posté par re : Conduction thermique avec absorbance 23-06-17 à 19:28

Désolé du double-post mais j'ai oublié lambda dans l'expression.
$T(R)=T(\epsilon/2)-\frac{\alpha}{2\lambda \pi}\times \ln(\frac{2R}{\epsilon})$ .

Posté par re : Conduction thermique avec absorbance 23-06-17 à 20:52

Un plaisir d'aider les étudiants qui comprennent vite !
Cette modélisation suppose la température indépendante de r entre r =0 et r=/2 , c'est à dire à l'intérieur du cylindre chauffé par le laser ; approximation à mon avis raisonnable puisque <<R.

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