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conduction thermique

Posté par
Rabbb
14-04-18 à 11:09

Bonjour,

une partie d'un exercice de thermo me pose problème.

"On considère une plaque à température T1 constante et on cherche à en évacuer l'énergie thermique par l'intermédiaire d'une barre cylindre de longueur l et de rayon a constituée d'un matériau de conductivité K'.
Les échanges avec l'air ambiant à température T0 constante s'effectuent à travers l'interface solide/air et se caractérisent par une puissance thermique surfacique h(TS-T0) (TS = température de la surface au point considéré)."

Justifier que :
1) La température est uniforme sur une section donnée du cylindre.
2) On peut assimiler la barre à un cylindre de longueur infinie.

Malgré le corrigé, je ne comprends pas comment on doit procéder.

Pour 1) il est dit :
on repère un point M par ses coordonnées cylindriques (x,r)
On pourra négliger les variations de température avec r devant celle avec x si l'on a dT/dr << dT/dx (en valeurs absolues).
Puis l'on aboutit (je ne sais pas pourquoi) à ha/K' << 1 et en faisant l'application numérique, on constate que a doit être très petit devant la longueur l du cylindre.

Pour 2) on doit introduire une longueur caractéristique =K'a/2h associée aux variations de température en fonction de x.
Mais je ne vois pas en quoi ça peut m'aider...

merci par avance pour votre aide

Posté par
Rabbb
re : conduction thermique 16-04-18 à 08:15

quelqu'un pour m'aider ?

Posté par
vanoise
re : conduction thermique 16-04-18 à 11:43

Bonjour
Pour 2) : En faisant un bilan de flux thermique sur une tranche de cylindre élémentaire, on  montre que T vérifie une équation différentielle du premier ordre dont la solution fait intervenir une exponentielle qu'il est possible d'écrire sous la forme : e^{-\frac{x}{\lambda}} est une longueur caractéristique qu'il va falloir comparer à la longueur réelle du cylindre... Tu doit savoir que pour x>5 environ, il est possible de considérer en bonne approximation l'exponentielle comme nulle.
Pour la 1, il faudrait que tu en dises plus sur le raisonnement suivi...

Posté par
Rabbb
re : conduction thermique 16-04-18 à 12:25

merci !

Pour 1 aussi on doit faire un bilan thermique.
Le corrigé écrit : -K' dT/dx = h(T(r=a)-T0)
puis T(r=a) = T(r=0) + dT avec dT << T(r=0)

mais je ne sais pas comment on conclut !

Posté par
vanoise
re : conduction thermique 16-04-18 à 16:12

Tout cela me parait un peu flou... Voici comment je vois les choses mais ce n'est peut-être pas ce qui est attendu...

1° : On s'intéresse à la tranche élémentaire de cylindre comprise entre les sections droites d'abscisses (x) et (x+dx). De la chaleur est évacuée radialement, il y a nécessairement une conduction radiale caractérisée par un vecteur densité de flux thermique :

\overrightarrow{j_{Q}}=-K'.\frac{dT}{dr}\overrightarrow{\cdot u_{r}}

Pour 0<r\leq a , la puissance thermique (flux thermique) à travers un cylindre de rayon r et de longueur dx est le flux du vecteur précédent à travers la surface latérale :

d\Phi_{Q}=-2\pi.r.K'.\frac{dT}{dr}\cdot dx
En régime permanent (T indépendant du temps en tout point), cette puissance thermique doit être indépendante de r ; sinon, la température varierait en fonction du temps. En considérant le cas limite r = a, ce flux thermique est aussi le flux sortant vers l'extérieur, donné par la loi de Newton :

d\Phi_{Q}=-2\pi.r.K'.\frac{dT}{dr}\cdot dx=-2\pi.a.K'.\left(\frac{dT}{dr}\right)_{r=a}\cdot dx=2\pi.a.h.\left(T_{S}-T_{0}\right)

-r.K'\cdot\frac{dT}{dr}=-a.K'.\left(\frac{dT}{dr}\right)_{r=a}=a.h.\left(T_{S}-T_{0}\right)
La dérivée \frac{dT}{dr} dépend donc de r dans le cas général et n'est pas définie, du moins par cette méthode, sur l'axe, en r=0. Puisqu'il s'agit d'une simple recherche d'ordre de grandeur, ton corrigé fait une approximation en considérant \left(\frac{dT}{dr}\right)_{r=a} du même ordre de grandeur que \frac{dT}{dr}, cet ordre de grandeur étant la valeur moyenne de la dérivée entre r=0 et r=A :

\frac{dT}{dr}\approx\left(\frac{dT}{dr}\right)_{r=a}\approx\frac{-\left(T_{(r=0)}-T_{(r=a)}\right)}{a}
Cela conduit à :

\left(T_{(r=0)}-T_{(r=a)}\right)\approx\frac{a.h}{K'}.\left(T_{S}-T_{0}\right)
Négliger les variations de T en fonction de r, à x donné, est une approximation d'autant meilleure que (a.h) est petit devant K' ; il faut donc vérifier : K'\gg a.h

2° : on s'intéresse à la même tranche de fluide qu'en 1. En considérant T indépendant de r maintenant, la température de surface est la température de l'intérieur du cylindre, pour une même valeur de x : Ts(x)=T(x).
Je fais un bilan de puissance thermique pour cette tranche. La puissance entrante est le flux du vecteur densité de flux thermique à travers la section droite d'abscisse x : \pi.a^{2}.j_{Q(x)}
La puissance sortante est une somme de deux termes :
a) la puissance sortant à travers la section droite d'abscisse (x+dx) : \pi.a^{2}.j_{Q(x+dx)}
b) la puissance sortant latéralement déjà évoquée : h.2\pi.a.\left(T_{(x)}-T_{0}\right).dx
En régime permanent, l'absence de variation de la température en fonction du temps n'est possible que si la puissance entrante reste à chaque instant égale à la puissance sortante :

a.j_{Q(x)}=a.j_{Q(x+dx)}+2h.\left(T_{(x)}-T_{0}\right).dx
En utilisant la loi de Fourier :

j_{Q(x+dx)}-j_{Q(x)}=\frac{dj_{Q}}{dx}=-K'.\frac{d^{2}T_{(x)}}{dx^{2}}
D'où l'équation différentielle vérifiée par T(x) :

\frac{K'.a}{2h}\cdot\frac{d^{2}T_{(x)}}{dx^{2}}-\left(T_{(x)}-T_{0}\right)=0

\lambda^{2}\cdot\frac{d^{2}T_{(x)}}{dx^{2}}-\left(T_{(x)}-T_{0}\right)=0\quad avec\quad\lambda=\sqrt{\frac{K'.a}{2h}}

La solution générale est de la forme :

T_{(x)}=T_{(0)}+A.e^{-\frac{x}{\lambda}}+B.e^{\frac{x}{\lambda}}
Supposons la tige suffisamment longue pour que la partie du cylindre la plus éloignée de la plaque soit à la température ambiante To. Cela revient mathématiquement à considérée la tige comme infiniment longue. Nous avons alors :

\lim_{x\rightarrow\infty}T_{(x)}=T_{0}.Cela suppose évidemment B=0. Je te laisse faire le calcul. La solution devient ainsi :

T_{(x)}=T_{(0)}+\left(T_{1}-T_{(0)}\right).e^{-\frac{x}{\lambda}}

Tout cela n'est cohérent que si : l\gtrsim5\lambda.

Je te laisse réfléchir à tout cela ; pose des questions complémentaires si tu le juges utile.

Posté par
Rabbb
re : conduction thermique 16-04-18 à 17:28


Merci beaucoup, c'est vraiment très clair, j'ai tout compris

Posté par
Rabbb
re : conduction thermique 16-04-18 à 17:32

il y a juste un petit point :

vanoise @ 16-04-2018 à 16:12


En régime permanent (T indépendant du temps en tout point), cette puissance thermique doit être indépendante de r ; sinon, la température varierait en fonction du temps..


je ne vois pas trop trop le lien entre le régime permanent et l'indépendance vis-à-vis de r

Posté par
vanoise
re : conduction thermique 16-04-18 à 18:12

Conduction radiale pour commencer. Imagine la matière solide comprise entre le cylindre de longueur dx, de rayon r, et le cylindre de même longueur mais de rayon (r+dr). Imagine que le flux thermique (puissance thermique) entrant en r soit supérieur au flux thermique sortant en (r+dr) : la différence de puissance serait nécessairement absorbée par le conducteur qui ainsi subirait un échauffement. Cela ne serait pas conforme à l'hypothèse d'un régime permanent, c'est à dire d'un régime où T peut dépendre des coordonnées d'espace mais pas du temps. Une puissance thermique en r inférieure à une puissance thermique en (r+dr) correspondrait à un refroidissement...
Le raisonnement est valide aussi pour la conduction thermique axiale (selon x) ; cela m'a permis d'écrire à la partie 2 : En régime permanent, l'absence de variation de la température en fonction du temps n'est possible que si la puissance entrante reste à chaque instant égale à la puissance sortante .

Posté par
Rabbb
re : conduction thermique 16-04-18 à 19:04

merci beaucoup, c'est très clair

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