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conduction thermique
Bonjour,
une partie d'un exercice de thermo me pose problème.
"On considère une plaque à température T1 constante et on cherche à en évacuer l'énergie thermique par l'intermédiaire d'une barre cylindre de longueur l et de rayon a constituée d'un matériau de conductivité K'.
Les échanges avec l'air ambiant à température T0 constante s'effectuent à travers l'interface solide/air et se caractérisent par une puissance thermique surfacique h(TS-T0) (TS = température de la surface au point considéré)."
Justifier que :
1) La température est uniforme sur une section donnée du cylindre.
2) On peut assimiler la barre à un cylindre de longueur infinie.
Malgré le corrigé, je ne comprends pas comment on doit procéder.
Pour 1) il est dit :
on repère un point M par ses coordonnées cylindriques (x,r)
On pourra négliger les variations de température avec r devant celle avec x si l'on a dT/dr << dT/dx (en valeurs absolues).
Puis l'on aboutit (je ne sais pas pourquoi) à ha/K' << 1 et en faisant l'application numérique, on constate que a doit être très petit devant la longueur l du cylindre.
Pour 2) on doit introduire une longueur caractéristique 
=
K'a/2h associée aux variations de température en fonction de x.
Mais je ne vois pas en quoi ça peut m'aider...
merci par avance pour votre aide
Bonjour
Pour 2) : En faisant un bilan de flux thermique sur une tranche de cylindre élémentaire, on montre que T vérifie une équation différentielle du premier ordre dont la solution fait intervenir une exponentielle qu'il est possible d'écrire sous la forme : où
est une longueur caractéristique qu'il va falloir comparer à la longueur réelle du cylindre... Tu doit savoir que pour x>5 environ, il est possible de considérer en bonne approximation l'exponentielle comme nulle.
Pour la 1, il faudrait que tu en dises plus sur le raisonnement suivi...
merci !
Pour 1 aussi on doit faire un bilan thermique.
Le corrigé écrit : -K' dT/dx = h(T(r=a)-T0)
puis T(r=a) = T(r=0) + dT avec dT << T(r=0)
mais je ne sais pas comment on conclut !
Tout cela me parait un peu flou... Voici comment je vois les choses mais ce n'est peut-être pas ce qui est attendu...
1° : On s'intéresse à la tranche élémentaire de cylindre comprise entre les sections droites d'abscisses (x) et (x+dx). De la chaleur est évacuée radialement, il y a nécessairement une conduction radiale caractérisée par un vecteur densité de flux thermique :
Pour , la puissance thermique (flux thermique) à travers un cylindre de rayon r et de longueur dx est le flux du vecteur précédent à travers la surface latérale :
En régime permanent (T indépendant du temps en tout point), cette puissance thermique doit être indépendante de r ; sinon, la température varierait en fonction du temps. En considérant le cas limite r = a, ce flux thermique est aussi le flux sortant vers l'extérieur, donné par la loi de Newton :
La dérivée dépend donc de r dans le cas général et n'est pas définie, du moins par cette méthode, sur l'axe, en r=0. Puisqu'il s'agit d'une simple recherche d'ordre de grandeur, ton corrigé fait une approximation en considérant
du même ordre de grandeur que
, cet ordre de grandeur étant la valeur moyenne de la dérivée entre r=0 et r=A :
Cela conduit à :
Négliger les variations de T en fonction de r, à x donné, est une approximation d'autant meilleure que (a.h) est petit devant K' ; il faut donc vérifier :
2° : on s'intéresse à la même tranche de fluide qu'en 1. En considérant T indépendant de r maintenant, la température de surface est la température de l'intérieur du cylindre, pour une même valeur de x : Ts(x)=T(x).
Je fais un bilan de puissance thermique pour cette tranche. La puissance entrante est le flux du vecteur densité de flux thermique à travers la section droite d'abscisse x :
La puissance sortante est une somme de deux termes :
a) la puissance sortant à travers la section droite d'abscisse (x+dx) :
b) la puissance sortant latéralement déjà évoquée :
En régime permanent, l'absence de variation de la température en fonction du temps n'est possible que si la puissance entrante reste à chaque instant égale à la puissance sortante :
En utilisant la loi de Fourier :
D'où l'équation différentielle vérifiée par T(x) :
La solution générale est de la forme :
Supposons la tige suffisamment longue pour que la partie du cylindre la plus éloignée de la plaque soit à la température ambiante To. Cela revient mathématiquement à considérée la tige comme infiniment longue. Nous avons alors :
.Cela suppose évidemment B=0. Je te laisse faire le calcul. La solution devient ainsi :
Tout cela n'est cohérent que si : .
Je te laisse réfléchir à tout cela ; pose des questions complémentaires si tu le juges utile.
il y a juste un petit point :
En régime permanent (T indépendant du temps en tout point), cette puissance thermique doit être indépendante de r ; sinon, la température varierait en fonction du temps..
je ne vois pas trop trop le lien entre le régime permanent et l'indépendance vis-à-vis de r
Conduction radiale pour commencer. Imagine la matière solide comprise entre le cylindre de longueur dx, de rayon r, et le cylindre de même longueur mais de rayon (r+dr). Imagine que le flux thermique (puissance thermique) entrant en r soit supérieur au flux thermique sortant en (r+dr) : la différence de puissance serait nécessairement absorbée par le conducteur qui ainsi subirait un échauffement. Cela ne serait pas conforme à l'hypothèse d'un régime permanent, c'est à dire d'un régime où T peut dépendre des coordonnées d'espace mais pas du temps. Une puissance thermique en r inférieure à une puissance thermique en (r+dr) correspondrait à un refroidissement...
Le raisonnement est valide aussi pour la conduction thermique axiale (selon x) ; cela m'a permis d'écrire à la partie 2 : En régime permanent, l'absence de variation de la température en fonction du temps n'est possible que si la puissance entrante reste à chaque instant égale à la puissance sortante .
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