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conducteur
Bonjours a tous
J'ai un exercice sur les conducteurs que je n'arrive pas à résoudre, j'espère que vous pourrez m'apporter un peu d'aide.
Un conducteur sphérique S1, de rayon R1 et de centre O1, est maintenu à un potentiel constant V1. On approche de ce conducteur un autre conducteur sphérique S2, de centre O2 et de rayon R2>R1, isolé et portant une charge Q2. La distance O1O2=d est supposée supérieure à R1+R2.
1. Calculer la charge Q1 de S1 et le potentiel V2 de S2. Pour cela, on supposera qua chaque sphère est équivalente à sa charge placée en son centre.
2. Calculez les coefficients de capacité et d'influence des 2 conducteurs.
Merci d'avance pour l'aide que vous voudrez bien m'apporter.
Bonjour al68130,
Le point de depart est celui-ci :
a) le potentiel V cree par une charge ponctuelle Q a la distance d de celle-ci est V = Q/(4
0d).
b) la relation entre la charge Q portee par un conducteur spherique de rayon R et le potentiel V qu'il prend est : V = Q/(40R) ;
Pour soulager la frappe je pose 40 = k.
Appelons Q1 et Q2 les charges de S1 et de S2, V1 et V2 les potentiels de S1 et de S2. Le potentiel V1 de S1 est du :
* a la charge Q1 qu'elle porte ;
* a la charge Q2 de S2, supposee ponctuelle a la distance d.
On ecrit donc V1 = (1/k).(Q1/R1 + Q2/d, relation (1).
De meme, V2 = (1/k).(Q1/d + Q2/R2), relation (2).
On connait V1 et Q2 et on cherche Q1 et V2. Les relations (1) et (2) etant lineaires, c'est jouable et la resolution ne pose pas de pb (utiliser par exemple les determinants). On trouve :
Q1 = R1(kV1 - Q2/d) et V2 = (1/k).[R1(kV1 - Q2/d)/d + Q2/R2], soit V2 = V1.R1/d + Q2.(d2 - R1R2)/(k.R2.d2).
Voila obtenue la reponse a la premiere question.
Pour les coefficients d'influence et de capacite : entre deux conducteurs en influence on ecrit Q1 = C11.V1 + C12.V2, et Q2 = C21.V1 + C22.V2. Ton cours t'apprendra que C11 et C22 sont positifs, C21 et C22 negatifs, et que C21 = C12. On va retrouver ca ici :
La relation donnant V2 en fonction de V1 et de Q2 s'ecrit V2 = V1.R1/d + Q2.
/kR2, en posant d2 - R1R2 pour gagner du temps. Cette relation se transforme pour obtenir Q2 en fonction de V1 et de V2. Un calcul sans mystere donne
Q2 = k.R2.d2(V2 - V1R1/d)/, ce qui fournit C21 = -k.R1.R2.d/ et C22 = k.R2.d2/.
Un calcul analogue ecrivant Q1 en fonction de V1 et de V2 fournira les coefficients C11 et C12. Mais on peut eviter cecalcul en remarquant que les relations (1) et (2) ci-dessus, dont on est parti, se deduisent l'une de l'autre en permutant les indices 1 et 2 : il en est de meme avec toutes les grandeurs indicees qui en resultent, donc on peut ecrire
C11 = k.R1.d2/ et C12 = -k.R2.R1.d/.
Les coefficients Cii sont bien positifs, les Cij negatifs et Cij = Cji.
Cas particulier, ou d >> R1 et d >> R2 :
Dans ce cas, d2 >> R1R2 et 
d2. L'expression des coefficients se simplifie :
C11 40.R1, C22 40.R2, C21 - 40.R1.R2/d.
Les expressions de C11 et C22 sont alors celles des capacites de S1 et de S2 seules dans l'espace. Les coefficients d'influence C12 et C21 sont << C11 et << C12.
Voila voila... Si tu as des questions n'hesite pas a mettre un post.
Prbebo.
bonsoir prbebo.
Je ne comprends pas comment vous trouvez Q1 ET V2, avec la méthode des déterminants, j'ai essayé, mais je n'ai pas trouvé :/
cordialement
Bonsoir kelkit29,
dis-moi ce que tu sais au sujet des determinants, et je te repondrai demain (ou plutot, tout a l'heue, car il est tout de meme 0h30).
Prbebo.
Alors pour le calcul du déterminant, je calcule d'abord les dérivées par rapport a x, y, et z, puis j'applique la méthode du déterminant par rapport au vecteur i, j, k.
J'ai besoin d'aide je crois 
bonjour kelkit29,
"J'ai besoin d'aide je crois" : je le crois aussi !
Un determinant est un tableau carre (donc autant de lignes que de colonnes) dont les elements sont des nombres ou des expressions algebriques. Ce determinant est lui-meme un nombre ou une expression algebrique, quel que soit son ordre (l'ordre c'est le nombre de lignes ou de colonnes).
Un determinant d'ordre 2 est donc defini par quatre elements, et se presente ainsi : 1ere ligne, a b ; 2ieme ligne, c d. La gestion des formules mathematiques est assez laborieuse sur le forum, donc regarde plutot l'image ci-dessous. Les barres verticales sont indispensables. La valeur de ce determinant est ad - bc.
Maintenant, on prend un systeme de deux equations a deux inconnues ecrit comme ci-dessous. La solution (x, y) de ce systeme peut etre obtenue de trois manieres : l'une s'appelle "substitution" (on exprime y en fonction de x avec 1, et on reporte dans 2) ; la seconde, "elimination" (on multiplie 1 par d et 2 par b, et on soustrait membre a membre pour eliminer y).
La troisieme consiste a ecrire x et y comme le rapport de deux determinants : au denominateur, le tableau (a,b,c,d) appele "determinant principal" DP ; au numerateur de x, un determinant ecrit en remplacant la colonne des coefficients multipliant x (cad les elements a et c) par celle formee par les seconds membres (A et B) ; idem pour y, en remplacant b et d par A et B. Tu verifieras sans peine que les solutions obtenues, ecrite sur cette image, sont bien celles du systeme.
Enfin, revenons aux equations 1 et 2 ecrites dans mon post ecrit pour Al68130 (22/12 a 15h52) :
En posant a = 1/(kR1), b = 1/(kd), c = 1/(kd), d = 1/(kR2) (attention aux notations), A = V1 et B = V2, la solution ecrite sur l'image ci-dessous te donnera directement Q1 et Q2 en fonction de V1 et de V2, dont il est ensuite facile de deduire Q1 et V2 en fonction de V1 et de Q2.
Si tu as des questions n'hesite pas a continuer a poster.
B.B.
Mais cela je le savais déjà mais je n'y arrivais pas a l'appliquer. MErci beaucoup pour ton aide 
Et en effet, j'étais sur un exercice d'électrostatique, et si tu pouvais me confirmer les réponses que j'ai trouvé,, ça serait super gentil. Je lavais posté sous le nom de : électromagnétisme, électrostatique.
Merci pour ton aide
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