Niveau maths spé

Condensateur en régime sinusïdale

Posté par
Flewer47 16-11-15 à 20:04

Bonsoir,

J'en appelle à vous pour cet exercice, j'ai essayé mais je bloque un peu, merci de me corriger si nécessaire.
En voici l'énoncé :
On considère le condensateur plan représenté ci-dessous. Les armatures circulaires, de rayon a, sont distantes de d. On négligera tout effet de bord : $a$ >> $d$ .
Le condensateur est soumis à une tension sinusoïdale de la forme $u(t)=U_0cos(wt)$ . On se place en régime quasi-stationnaire, c'est-à-dire que l'on suppose que : $wa$ << $c$ où $c$ désigne la vitesse de la lumière dans le vide.
On supposera de plus que les lois de l'électrostatique restent applicables dans cette limite (limite électrique de l'ARQS). Cela signifie concrètement que les équations de Maxwell s'écrivent ainsi : $div\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon _0}, \vec{rot}\vec{E}=\vec{0}, div\vec{B}=0, \vec{rot}\vec{B}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ .

Je me place dans les coordonnées cylindriques $(\vec{u_r},\vec{u_{\theta}},\vec{u_z})$ .

1) Exprimer le champ électrostatique régnant entre les deux armatures en fonction de $u(t)$ et de $a$ .

Ici, je pense que je peux appliquer directement le cours en disant que le champ électrique entre les armatures vaut $\vec{E}=-\frac{\sigma}{\epsilon _0}\vec{u_z}$ où $\sigma$ est la densité superficielle de charge. On a alors :
$\vec{E}=-\frac{Cu(t)}{\pi a^2\epsilon _0}\vec{u_z}$ (je ne peux me débarrasser de la capacité (ou de la distance $d$ entre les armatures en utilisant la relation entre $C$ et $d$ ) pour répondre à la question. Je ne sais pas si je peux exprimer qu'en fonction de $u(t)$ et $a$ ).

2) Montrer qu'il règne dans le condensateur un champ magnétique de la forme $\vec{B(M,t)=B(r,t)}\vec{u_\theta}$ en coordonnées cylindriques d'ae $Oz$ . On explicitera la fonction $B(r,t)$ en fonction des données de l'énoncé.

Je ne vois pas vraiment pourquoi le champ magnétique ne dépend pas de z. Y a-t-il invariance par translation selon $Oz$ ? C'est la seule explication que je vois, mais en même temps d est fini alors.. Sinon c'est ok pour la première partie, et j'utilise Maxwell-Ampère et Stokes (grâce à l'expression du rotationnel du champ magnétique) par exemple pour trouver l'expression du champ magnétique (mon contour fermé étant un cercle orienté selon $\vec{u_z}$ de rayon $r$ variable), et ainsi je trouve :
$\vec{B(r,t)}=\frac{\mu _0 C U_0wsin(wt)}{2\pi a}\frac{r}{a}\vec{u_\theta}$ (si $r\leq a$ , ce qu'on demande ici, valant 0 sinon à priori en dehors du condensateur).

3) Comparer les ordres de grandeur des densités volumiques d'énergie électrique et magnétique. En déduire l'expression de l'énergie $E_{em}$ stockée dans le condensateur. Où est-elle localisée ?

Je suis censé prendre des valeurs et comparer les deux expressions, c'est plutôt simple. Après je ne sais pas trop..

4) Effectuer un bilan énergétique. Interpréter.

Il faut intégrer sur le volume formé par les armatures (cylindre) les deux expressions des densités volumiques d'énergies je pense ?

Merci pour votre aide !

Posté par re : Condensateur en régime sinusïdale 16-11-15 à 20:57

Bonsoir,
Es-tu bien sûr de tes hypothèses concernant l' ARQS ?
Les phénomènes d'induction et d'auto-induction en régime lentement variable sont régis par la loi :
$\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\left(V\right)-\frac{\partial\overrightarrow{A}}{\partial t}$

ce qui conduit à :
$\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{E}\right)=-\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}$
Mais bon : cela n'intervient pas directement dans ce problème...

Citation :
Je ne vois pas vraiment pourquoi le champ magnétique ne dépend pas de z. Y a-t-il invariance par translation selon Oz ?

Tu as fait cette hypothèse simplificatrice d'invariance pour le champ électrique, ce qui est donc vrai aussi en régime variable pour le champ magnétique puisque les deux champs sont couplés...

Posté par re : Condensateur en régime sinusïdale 16-11-15 à 21:27

Les hypothèses de l'ARQS sont données dans l'énoncé en réalité. Je pense qu'on néglige toute induction ici (on est toujours en train d'étudier l'électromagnétisme, l'induction n'est pas encore présente).

D'accord, je vois, merci bien.

Pour 3), j'ai calculé le rapport des densités volumiques d'énergies (électrostatique sur magnétique) et j'obtiens : $\frac{4c^2cos^2(wt)}{w^2sin^2(wt)}$ . Dois-je choisir une pulsation précise et montrer que densité volumique d'énergie magnétique est négligeable devant la densité volumique d'énergie électrostatique ?

Posté par re : Condensateur en régime sinusïdale 16-11-15 à 22:55

D'accord avec toi pour l'expression du vecteur B.
Pour comparer les énergies, tu peux comparer les amplitudes des deux termes ou leurs valeurs moyennes sachant que la valeur moyenne du carré d'un sinus ou d'un cosinus sur une période vaut 0,5.
Tu a un problème d'homogénéité dans ton rapport : celui-ci doit être sans dimension physique. Selon moi, tu as oublié un terme en a².
L'essentiel à retenir est que le rapport énergie magnétique sur énergie électrique est d'autant plus faible que la pulsation est faible puisque dans le cas limite de l'électrostatique, l'énergie magnétique accumulée est nulle.

Posté par re : Condensateur en régime sinusïdale 16-11-15 à 23:56

J'ai oublié un facteur $r^2$ dans l'expression LaTeX, au temps pour moi.

J'ai fais avec les valeurs moyennes. Ok pour l'interprétation, merci.

Pour la 4), je suis parti de $\frac{dU_{em}}{dt}=-P_{s,ray}^{ext}-P_{champ-->matière}$ .

Il n'y a que du vide entre les armatures dont $P_{champ-->matière}=0$ .
Je trouve ensuite le vecteur de Poynting pour réaliser le calcul :

$\vec{\Pi}=\vec{E}\wedge \frac{\vec{B}}{\mu _0}$ .
Après calcul (que j'espère sans erreurs), je trouve :
$\vec{\Pi}=\frac{C^2U_0^2wcos(wt)sin(wt)r}{2\pi ^2a^4\epsilon _0}\vec{u_r}$ .

On a alors, en choisissant comme surface le cylindre délimité par les deux armatures :
$P_{s,ray}^{ext}=\iint\limits_{Surface Latérale} \vec{\Pi (r=a)}\vec{u_r}dS=...=\frac{C^2U_0^2wsin(2wt)d}{2\pi a^2\epsilon _0}$ en utilisant au passage que $sin(2a)=2sin(a)cos(a)$ .

On a par suite :
$U_{em}=-\frac{C^2U_0^2d}{4\pi a^2 \epsilon _0}\int 2wsin(wt)dt=\frac{C^2U_0^2dcos(2wt)}{4\pi a^2 \epislon _0}=\frac{CU_0^2cos(2wt)}{4}$ en utilisant le fait que $C=\frac{\epsilon _0 \pi a^2}{d}$ . Il y a une constante d'intégration a priori, mais je ne sais pas si j'intègre à partir de 0 ou non..
On retrouve presque du $\frac{1}{2}CU^2$ .

A noter que si l'on néglige cependant la densité volumique d'énergie magnétique, on a alors :
$U_{es}=\iiint\limits_V \frac{\epsilon _0 E^2}{2}dV=...=\frac{CU_0^2cos^2(wt)}{2}$ et là on retrouve parfaitement du $\frac{1}{2}CU^2$ .

Quelle approche est la plus correcte ?

Comment interpréter ? Qu'en négligeant la densité volumique d'énergie magnétique, on voit qu'un condensateur en régime sinusoïdal donne une énergie de rayonnement qui se met sous la même forme que lorsqu'on applique une tension constante ?

Posté par re : Condensateur en régime sinusïdale 17-11-15 à 01:03

Première remarque : la valeur moyenne sur une période du produit du sinus par le cosinus est nul : la valeur moyenne du vecteur de Poynting est nulle : le condensateur ne rayonne pas d'énergie en moyenne vers l'extérieur.
Pour le bilan énergétique instantané : la dérivée par rapport au temps de l'énergie accumulée doit être égale à la différence entre la puissance électrique instantanée reçue et la puissance instantanée perdue par rayonnement :
$\frac{dE_{em}}{dt}=u(t)\cdot i(t)-\Vert\overrightarrow{\Pi}\Vert_{r=a}\cdot2\pi\cdot a\cdot d$

Et toujours bien sûr : vérifier que l'on retrouve bien les lois de l'électrostatique en faisant tendre vers zéro.

Posté par re : Condensateur en régime sinusïdale 17-11-15 à 17:37

J'ai alors $\frac{dE_{em}}{dt}=-CU_0^2wcos(wt)sin(wt)-\frac{C^2U_0^2wcos(wt)sin(wt)\times 2\pi ad}{2\pi ^2a^3\epislon _0}=...=-CU_0^2wsin(wt)$ en utilisant que $C=\frac{\epsilon _0 \pi a^2}{d}$ et que $sin(2a)=2sin(a)cos(a)$ .
On a alors $E_{em}=\frac{CU_0^2cos(2wt)}{2}$ .

Est-ce correct ? J'ai un facteur 2 de différence avec ma première approche, je n'arrive pas à savoir pourquoi..
Ok pour l'interprétation avec le vecteur de Poynting.

L'énergie $E_{em}$ est donc localisée uniquement dans le champ électrique ?

Posté par re : Condensateur en régime sinusïdale 17-11-15 à 19:33

Bonsoir,
Pour l'énergie électrique : le produit de la densité volumique d'énergie électrique par le volume conduit effectivement à une énergie accumulée sous forme électrique égale à :
$E_{e}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}\cdot\left(\pi a^{2}d\right)=\frac{1}{2}Cu^{2}=\frac{1}{2}CU_{0}^{2}\cos^{2}\left(\omega t\right)$

On obtient le résultat de l'électrostatique, ce qui est cohérent ! Pour avoir l'énergie électromagnétique, il faut ajouter à ce terme l'énergie magnétique que l'on calcule en intégrant sur le volume de l'isolant l'expression de la densité volumique d'énergie magnétique que tu as déjà obtenue. Le calcul est moins simple que dans le cas précédent car B dépend de r...
Je te laisse faire le calcul mais, pour l'interprétation, j'ai bien peur que le problème de cohérence signalé dans mon premier message ne resurgisse...

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