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condensateur/condensateur sphérique
Bonjour, je bloque sur un éxo!
En espérant que tout soit lisible, LaTex ne marchant pas au moment où j'écris !!
Une sphère métallique pleine de rayon R1 = 10 cm est portée, par rapport au sol, au potentiel
V0 = 600 V, puis isolée.
1. Déterminer littéralement et numériquement la capacité de la sphère et sa charge.
C=4
oR1=1.11*10-12f
Q1=CV=6.67*10-10C
On dispose alors, concentriquement autour d'elle, une coquille métallique sphérique de rayon interne
R2 = 15 cm (surface dite S2) et de rayon externe R3 = 17 cm (surface dite S3) . La charge totale de la coquille extérieure est nulle.
On suppose que la sphère extérieure est maintenue isolée. On considère l'origine des potentiels à l'infini.
2. Calculer les charges Q2 et Q3 et les densités superficielles σ2 et σ3 qui apparaissent sur les surfaces S2 et S3.
Q1=-Q2=Q3
On a donc σ2=(Q2)/(4oR22)=-(Q1)/(4oR22)=267 C.m-3
et σ3=(Q3)/(4oR32)=(Q1)/(4oR32)=208 C.m-3
3. Calculer le champ et le potentiel électrique en tout point. Le potentiel de la coquille de rayon R1 vaut-il toujours V0 ? Pourquoi ? Tracer les courbes représentatives.
A l'aide du théorème de Gauss:
r<R1: E=0, V=A
R1<r<R2: E=Q1/(4or2), V(r)=Q1/(4or)+B
R2<r<R3: E=0, V=C
r>R3: E= E=Q1/(4or2), V(r)=Q1/(4or)+D
Potentiels pris à l'infini donc D=0, continuité de V entre l'extérieur et R3 donc C=Q1/(4oR3), continuité de V en R2 donc B=Q1/(4o)*1/(1/R3-1/R2), continuité de V en R1 donc A=Q1/(4o)*1/(1/R3+1/R1-1/R2)
On trouve donc: V(R1)=55 V
A la question pourquoi le potentiel est t'il celui, là, je répondrai que l'on a pris comme origine des V l'infini alors que le 600V de l'énoncé est une valeur selon une origine des potentiels au sol... (Encore faut t-il que le résultat soit bon...)
On suppose maintenant que la sphère extérieure est reliée au sol.
4. Calculer les charges Q2 et Q3 et les densités superficielles σ2 et σ3 qui apparaissent sur les surfaces S2 et S3.
Ici, si la sphère est reliée au sol, elle a quand même une charge et une densité ???
5. Calculer le champ et le potentiel électrique en tout point. Tracer les courbes représentatives.
J'imagine que la sphère a bien une charge donc (...). Au final, le résultat ne devrait pas être le même que celui d'avant mais avec une valeur de charge différente ???
6. On considère enfin le condensateur formé par deux sphères concentriques minces, de rayons R1 et R2, avec R2 > R1. Soit Q1 la charge de l'armature interne. Déterminer la capacité C de ce condensateur.
Ici, je prend le potentiel entre V2 et V1 et le tour est j o u é !
Voilà!
Je m'excuse encore de la lisibilité des formules et remercie d'avance la personne qui voudra bien jeter un œil à mes erreurs! Bonne soirée.
Bonsoir
Je n'ai pas pris le temps de vérifier tes calculs encore. Juste quelques réflexions "à chaud" pour te permettre d'avancer.
Le potentiel de la coquille de rayon R1 vaut-il toujours V0 ? Pourquoi ?
Ta réponse à cette question ne me paraît pas satisfaisante. En pratique, le potentiel par rapport à la terre est le potentiel de la boule métallique obtenue en considérant que le potentiel est nul à l'infini, ce qui revient à considérer la terre très loin de la boule. Tu fais explicitement cette hypothèse quand tu démontres l'expression de la capacité propre de la boule métallique.
Le potentiel de la boule métallique chargée apparaît donc comme la circulation du vecteur champ électrique entre un point à la surface de la boule et l'infini. Ce champ est évidemment modifié par la présence de la coquille. Le potentiel de la boule est donc modifié par la présence des charges apparues par influence sur la coquille.
Lorsqu'on relie la coquille à la terre, cela revient à la porter au potentiel nul. Cela est cohérent avec mon propos précédent puisque le champ électrique est nul à l'extérieur de la coquille qui se comporte comme une cage de Faraday. La coquille porte la charge -Q1 sur sa face interne et une charge nulle sur sa face externe. Tu es effectivement ramené à l'étude d'un condensateur sphérique.
Pour les applications numériques, je me suis arrêté aux deux premières lignes.
(4o)-1
9.109m/F
Avec R1=10-1m, il me semble bien que tu as une erreur d'un facteur 10 qui bien sûr se répercute pour la suite...
Une densité surfacique de charge se mesure en C/m2 ;
Cela ne semble pas demandé mais il pourrait être intéressant, une fois déterminées 
1, 2 et 3, de vérifier la cohérence globale en vérifiant le théorème de Coulomb sur les vecteurs champ en r=R1+, en r=R2-, en r= R3+.
Bonsoir, je n'avais effectivement pas compris que prendre l'origine des potentiels à l'infini ou à la terre revenait au même.
Concernant la charges de la coquille, j'en étais venu à considérer que la surface extérieur de la coquille était de charge Q1 puisque dans l'énoncé, je croyais avoir lu que la coquille était "de charge nulle" alors que c'est uniquement la charge extérieur qui est nulle, ce qui est effectivement plus logique... Sans cela, les calculs deviennent plus simple, je vais prendre en compte le fait que je me suis planté sur l'application numérique (dès la première question... Faut le faire) et je reviendrais sur le forum si d'autres points me paraissent obscurs.
Merci de vos conseils.
Attention. Je n'ai pas été assez clair. Ta répartition de charge en présence de la coque est exacte pour les premières questions. Tu as bien-Q1 sur la face interne et Q1 sur la face externe.
C'est uniquement lorsque la coque est reliée à la terre que seule la face interne reste chargée.
AH, merci!
Une dernière question!
Pour la question 5, lorsque l'on demande le potentiel en tout point, comment trouver la constante de V lorsque: R1<r<R2, je pensais poser V(R2)=0 (puisque la partie externe de la coquille est reliée à la terre), mais cela me parait bizarre...
Le potentiel est nul à l'extérieur de la coque mais pas à l'intérieur non ? du coup, il faut que je fasse gauss à l'intérieur de la coquille même si le potentiel à l'extérieur est nulle ?
je pensais poser V(R2)=0 (puisque la partie externe de la coquille est reliée à la terre)
Tu penses bien ! puisque le vecteur champ est nul à l'extérieur de la coquille, le potentiel en r=R2 est le même qu'à l'infini : il est nul !
Le potentiel est nul à l'extérieur de la coque mais pas à l'intérieur non ?
Et si !
Tu peux le démontrer ici à l'aide du théorème de Gauss mais, tu peux évoquer plus simplement une propriété fondamentale d'un conducteur en équilibre électrostatique : il constitue toujours un volume équipotentiel. La démonstration est élémentaire. Un conducteur possède des charges mobiles. Si celles-ci restent immobiles à l'échelle macroscopique, le champ électrostatique est nécessairement nul en tout point à l'intérieur du conducteur en équilibre. Donc grad(V)=0 (vecteurs) donc V=constant à l'intérieur.
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