Niveau licence

compressibilité isotherme

Posté par
azerty4 07-02-19 à 00:26

Bonsoir,

je bloque sur une question assez simple

On part du coefficient $\chi_T = - \frac{1}{v} \frac{\partial v}{\partial P}( Tcste )$
où v représente le volume massique

on doit prouver $d \rho = \chi \rho dP$

je n'y arrive pas vraiment, ...

Je commence par remplacer v par $1/ \rho$ et par la suite je n'arrive pas à la bonne relation

Voyez vous comment procéder ?

Merci d'avance,

Bonne soirée

Posté par re : compressibilité isotherme 07-02-19 à 11:15

Bonjour
J'imagine qu'il s'agit d'étudier une évolution élémentaire d'un fluide quelconque à T fixe. Tu as raison de remarquer :

$\rho=\dfrac{1}{v}$

La méthode de la différentiation logarithmique conduit directement à :

$\dfrac{d\rho}{\rho}=-\dfrac{dv}{v}$
Dans le cas le plus général d'une température variable, puisqu'il existe nécessairement pour ce fluide une équation d'état de la forme v=f(P,T), on peut écrire :

$dv=\left(\dfrac{\partial v}{\partial P}\right)_{T}\cdot dP+\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{P}\cdot dT$
Dans le cas particulier d'une évolution à T fixe :

$\dfrac{d\rho}{\rho}=-\dfrac{dv}{v}=-\dfrac{1}{v}\cdot\left(\dfrac{\partial v}{\partial P}\right)_{T}\cdot dP=\chi_{T}\cdot dP$

Posté par re : compressibilité isotherme 07-02-19 à 11:54

Bonjour,
Merci beaucoup !

Je n'avais pas pensé à utiliser la dérivée logarithmique

On demande par la suite de prouver $\rho = \rho_0 [ 1 + \chi_T (P - P_0)]$ en s'appuyant sur $\frac{{\rho -\rho_0}}{\rho_0 } << 1$

( $\rho_0$ masse vol à la surfasse et masse vol dépendant de la pression )

En parant de l'expression, $\frac{d\rho }{\rho } = \chi dP$ je trouve en intégrant (avec les bornes inférieures les conditions à la surfaces) $ln (\rho ) - ln (\rho_0) = ln (\frac{\rho }{\rho_0} ) = \chi_T (P-P_0)$

En mettant le tout en expo et en utilisant exp(x= 1 + x (DL ordre 1) je retrouve la formule à prouver mais je n'ai pas utiliser l'hypothèse à utiliser

Y a til une autre méthode qui permette d'exploiter $\frac{{\rho -\rho_0}}{\rho_0 } << 1$ ?

Merci encore

Bonne journée

Posté par re : compressibilité isotherme 07-02-19 à 12:39

Ton développement limité utilise l'hypothèse de l'énoncé :

$\ln\left(\dfrac{\rho}{\rho_{o}}\right)=\ln\left(\dfrac{\rho_{o}+\left(\rho-\rho_{o}\right)}{\rho_{o}}\right)=\ln\left(1+\dfrac{\rho-\rho_{o}}{\rho_{o}}\right)\approx\dfrac{\rho-\rho_{o}}{\rho_{o}}\quad si\quad\mid\dfrac{\rho-\rho_{o}}{\rho_{o}}\mid\ll1$

Posté par re : compressibilité isotherme 07-02-19 à 23:20

Bonsoir,

merci beaucoup vanoise

j'ai pu finir l'exercice et je trouve des AN cohérentes (4% d'erreur sur la pression en considérant la masse volumique constante pour une plongée à 10km )

Bonne soirée

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de physique

Fiches de physique - chimie

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

compressibilité isotherme

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de physique