Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île de la physique - chimie Forum de physique - chimieListe de tous les forums de physique - chimie SupérieurOn parle exclusivement de physique/chimie, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths supForum Supérieur de maths sup PhysiqueTopics traitant de Physique [tout]Lister tous les topics de physique - chimie
Niveau maths sup
Partager :

Composition de mouvement

Posté par
CloudNine 16-01-17 à 20:00

Bonsoir,
Je suis bloqué à cet exercice. Je ne sais pas comment rédiger.

Les coordonnées d'une particule mobile dans un repère R sont données en fonction du temps.
𝐗=𝐭^𝟐 −𝟒𝐭+𝟏
𝐘 = −𝟐𝐭^𝟒
𝐙 = 𝟑𝐭^𝟐
Dans un deuxième repère R', elles ont pour expressions :
𝐗′ = 𝐭^𝟐 + 𝐭 + 𝟐
𝐘′ =−𝟐𝐭^𝟒+𝟓
𝐙′ =𝟑𝐭^𝟐−𝟕

a) Déterminer la vitesse d'entraînement de R' par rapport à R.
J'ai un problème de rédaction, je sais pas comment rédiger correctement.

Soit \vec{v} = 𝐗=𝐭^𝟐 −𝟒𝐭+𝟏  et \vec{v'} = 𝐗′ = 𝐭^𝟐 + 𝐭 + 𝟐
                                                    𝐘 = −𝟐𝐭^𝟒                                                      𝐘′ =−𝟐𝐭^𝟒+𝟓
                                                    𝐙 =𝟑𝐭^𝟐                                                           𝐙 = 𝟑𝐭^𝟐-7
D'après la loi de composition des vitesses: \vec{v} = \vec{v'}  +  \vec{v_{e}}
avec \vec{v_{e}}: la vitesse d'entraînement.
X = 2t - 4     X' =2t +1
𝐘 = −8𝐭^3   𝐘′ =−𝟐𝐭^𝟒+𝟓
𝐙 =6𝐭   𝐙' = 6t^2

Donc \vec{v_{e}}  = \vec{v'} = \vec{v} = X = -5
                                                                                                                                                      Y = 0
                                                                                                                                                      Z = 0

                                      
b) Déterminer les accélérations dans les deux repères. Conclusion.

Merci d'avance pour vos aides,

Posté par
diracre : Composition de mouvement 16-01-17 à 21:04

Hello

Tu peux peut-être commencer par exprimer \begin{pmatrix}X'\\Y'\\Z'\end{pmatrix}   en fonction de   \begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix} ,    puis \begin{pmatrix}\dot{X'}\\\dot{Y'}\\\dot{Z'}\end{pmatrix}   en fonction de   \begin{pmatrix}\dot{X}\\\dot{Y}\\\dot{Z}\end{pmatrix}

Cela te donnera une idée claire (si besoin) du mouvement du repère mobile. Ensuite:

1) soit le mouvement est simple et tu exprime \vec{v}_e  directement (ça doit être le cas ici)

2) soit  tu établis la règle de transformation de (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} )   en (O', \vec{i'}, \vec{j'}, \vec{k'} ) puis calcules \vec{V}_{M/\mathcal{R}  et \vec{V}_{M/\mathcal{R'}

Posté par
vanoisere : Composition de mouvement 16-01-17 à 21:30

Bonjour
Je crois que tu as compris pas mal de choses même si elles ne sont pas toujours très bien exprimées...
Ton énoncé ne précise pas dans quelles bases sont exprimés les deux vecteurs positions. Je vais donc supposer que la base est commune aux deux repères, ce qui suppose que, si on note (O,,,) le repère (R), le repère (R') a une origine O' en mouvement par rapport à (R) mais trois axes constamment parallèles à ceux de R : le repère (R') est : (O',,,). (R') est donc a priori en translation par rapport à (R). Attention : dans le cas général, cette translation n'est pas nécessairement rectiligne.
Ceci étant posé :

\overrightarrow{V}=\frac{dX}{dt}\cdot\overrightarrow{i}+\frac{dY}{dt}\cdot\overrightarrow{j}+\frac{dZ}{dt}\cdot\overrightarrow{k}=\left(2t-4\right)\overrightarrow{i}-8t^{3}\cdot\overrightarrow{j}+6t\cdot\overrightarrow{k}

\overrightarrow{V'}=\frac{dX'}{dt}\cdot\overrightarrow{i}+\frac{dY'}{dt}\cdot\overrightarrow{j}+\frac{dZ'}{dt}\cdot\overrightarrow{k}=\left(2t+1\right)\overrightarrow{i}-8t^{3}\cdot\overrightarrow{j}+6t\cdot\overrightarrow{k}

\overrightarrow{V_{e}}=\overrightarrow{V}-\overrightarrow{V'}=-5\cdot\overrightarrow{i}

En fait la vitesse d'entraînement est de vecteur fixe : (R') est en translation rectiligne uniforme par rapport à (R).

Pour la suite, les trois vecteurs unitaires étant fixes, les accélérations ont simplement comme coordonnées les dérivées par rapport au temps des coordonnées des vecteurs vitesse.
Accélération par rapport à (R) :

\overrightarrow{a}=\frac{dV_{x}}{dt}\cdot\overrightarrow{i}+\frac{dV_{y}}{dt}\cdot\overrightarrow{j}+\frac{dV_{z}}{dt}\cdot\overrightarrow{k}=2\cdot\overrightarrow{i}-24t^{2}\cdot\overrightarrow{j}+6\cdot\overrightarrow{k}
Accélération par rapport à (R') :

\overrightarrow{a'}=\frac{dV'_{x}}{dt}\cdot\overrightarrow{i}+\frac{dV'_{y}}{dt}\cdot\overrightarrow{j}+\frac{dV'_{z}}{dt}\cdot\overrightarrow{k}=2\cdot\overrightarrow{i}-24t^{2}\cdot\overrightarrow{j}+6\cdot\overrightarrow{k}
Les accélérations sont égales à chaque instant. Cela se retrouve bien sûr en dérivant par rapport au temps la relation de composition des vitesses :

\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a'}+\frac{d\overrightarrow{V_{e}}}{dt}=\overrightarrow{a'}\;\text{puisque le vecteur vitesse d'entrainement est fixe}
Ce résultat est très général : Si deux repères sont en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre, le vecteur accélération est le même dans les deux repères. Cela a une conséquence que tu connais sûrement : si un repère est galiléen, tout repère en translation rectiligne uniforme par rapport à lui est aussi galiléen (mais là : je déborde largement le cadre de cet exercice !).

Posté par
vanoisere : Composition de mouvement 16-01-17 à 21:31

Bonsoir Dirac
désolé pour ce post croisé : le temps de le rédiger...

Posté par
diracre : Composition de mouvement 17-01-17 à 14:33

Hello Vanoise,
pas de souci bien sûr. C'est toujours un plaisir de lire des trucs sensés

Mais quelque chose qui me turlupine, et qui était peut être ce qui posait problème à Cloudnine en fait.

Nous avons "admis" je crois que les vecteurs de base des 2 repères étaient les mêmes, parce que l'on "voit" assez rapidement que le point O' (-5t-1; -5; 7)  munis des vecteurs i,j,k  était LE candidat idéal pour R', vérifiant les conditions du problème. Partant de là, la vitesse d'entrainement se calcule sans difficulté.

Du coup, j'ai décidé de ne plus faire cette hypothèse ... (option 2 que je mentionnais hier soir sans m'être lancé dans le détail du raisonnement). Je résume alors les étapes:

Posons O_1 (-5t-1; -5; 7)  dans le repère \matcal{R} (O, \vec{i}, \vec{j},\vec{k})

Si (X_1, Y_1, Z_1) sont les coordonnées de M dans \matcal{R_1} (O_1, \vec{i}, \vec{j},\vec{k})

Et (X', Y', Z') sont les coordonnées de M dans \matcal{R'} (O', \vec{i'}, \vec{j'},\vec{k'})

On établit alors "instantanément" que
\forall M \in \matcal{C}   X_1 = X',   Y_1 = Y',   Z_1 = Z'

Mais pour établir que cela imposait   \vec{i}= \vec{i'},  etc  

Il m'aura fallu passer par:

\vec{i'} = \begin{pmatrix}x_{1i'}\\x_{2i'}}\\x_{3i'}\end{pmatrix}_\matcal{R_1}   \vec{j'} = \begin{pmatrix}x_{1j'}\\x_{2j'}}\\x_{3j'}\end{pmatrix}_\matcal{R_1}   \vec{k'} = \begin{pmatrix}x_{1k'}\\x_{2k'}}\\x_{3k'}\end{pmatrix}_\matcal{R_1}

Ecrire un système de 3 équations

\\     \begin{array}{lll} (x_{1i'} - 1)(t^2+t+2) + x_{1j'}(-2t^4) + x_{1k'}(3t^2-7) = 0  \\x_{2i'}(t^2+t+2) +( x_{2j'} -1)(-2t^4) + x_{2k'}(3t^2-7) = 0 \\x_{3i'}(t^2+t+2) + x_{3j'}(-2t^4) + (x_{3k'}-1)(3t^2-7) = 0         \\     \end{array} \\ \right.

Faire des considérations sur ces 3 polynômes nuls qq soit t, pour en arriver à la conclusion tant souhaitée que les bases (\vec{i}, \vec{j},\vec{k}) et (\vec{i}, \vec{j},\vec{k}) étaient confondues.

Bref, je suis content, mais pas vraiment quand même, j'aurais préféré un raisonnement qui soit plus "élégant" ...
Si l'un de vous, ou le/la prof de Cloudine a qlq chose de plus "physique", je suis preneur
(Bon visiblement, j'ai aussi un peu de temps libre aujourd'hui     )

Posté par
vanoisere : Composition de mouvement 17-01-17 à 23:39

Bonsoir Dirac
Merci pour ton message très sympa !
Il faut tout de même commencer par rassurer CloudNine : compte tenu du niveau (bac+1) de cet exercice et surtout de l'enchaînement des questions, il me semble quasiment certain que le concepteur de l'exercice a juste oublié de préciser que (R') est en translation par rapport à (R). Les réponses fournies hier sont sûrement celles attendues.
Cela dit, juste pour le "fun", un jour de grand froid, on peut se poser la question de savoir si les équations horaires fournies imposent nécessairement cette translation !
Dans ta démonstration, je te suis sur l'astuce du changement d'origine du repère mais pour la suite, si on veut vraiment partir du cas le plus général, il faut supposer que la base (i',j',k') est mobile dans (R1) et dans (R) ; cela conduit à définir un vecteur rotation instantanée

\overrightarrow{\Omega_{R'/R}}=\overrightarrow{\Omega_{R'/R_{1}}}=\overrightarrow{\Omega}
tel que, à chaque instant :

\left(\frac{d\overrightarrow{i'}}{dt}\right)_{R}=\overrightarrow{\Omega}\land\overrightarrow{i'}\quad;\quad\left(\frac{d\overrightarrow{j'}}{dt}\right)_{R}=\overrightarrow{\Omega}\land\overrightarrow{j'}\quad;\quad\left(\frac{d\overrightarrow{k'}}{dt}\right)_{R}=\overrightarrow{\Omega}\land\overrightarrow{k'}
Déduire des équations horaires fournies le fait que ce vecteur rotation soit nul à chaque instant ne me paraît pas évident a priori mais je rentre de déplacement et il se fait tard : je vais réfléchir à cela demain !

Posté par
vanoisere : Composition de mouvement 17-01-17 à 23:54

Bonsoir dirac
Une piste en reprenant tes notations :

\left(\frac{d\overrightarrow{O_{1}M}}{dt}\right)_{R1}=\left(\frac{d\overrightarrow{O_{1}M}}{dt}\right)_{R'}+\overrightarrow{\Omega}\land\overrightarrow{O_{1}M}
Or :

\left(\frac{d\overrightarrow{O_{1}M}}{dt}\right)_{R1}=\left(\frac{d\overrightarrow{O_{1}M}}{dt}\right)_{R'}
Donc :

\overrightarrow{\Omega}\land\overrightarrow{O_{1}M}=\overrightarrow{0}\;\forall t
A prendre avec précaution... Il se fait tard !

Posté par
vanoisere : Composition de mouvement 18-01-17 à 00:58

Mon avant dernière égalité est fausse dans le cas le plus général et j'ai cliqué trop vite sur "poster"...

\overrightarrow{O_{1}M}=f(t).\overrightarrow{i}+g(t).\overrightarrow{j}+h(t).\overrightarrow{k}=f(t).\overrightarrow{i'}+g(t).\overrightarrow{j'}+h(t).\overrightarrow{k'}

\left(\frac{d\overrightarrow{O_{1}M}}{dt}\right)_{R1}=f'(t).\overrightarrow{i}+g'(t).\overrightarrow{j}+h'(t).\overrightarrow{k}
où f', g',h', désignent les dérivées par rapport à t.

\left(\frac{d\overrightarrow{O_{1}M}}{dt}\right)_{R1}=f'(t).\overrightarrow{i'}+g'(t).\overrightarrow{j'}+h'(t).\overrightarrow{k'}+\overrightarrow{\Omega}\land\overrightarrow{O_{1}M}

Donc :

f'(t).\left(\overrightarrow{i'}-\overrightarrow{i}\right)+g'(t).\left(\overrightarrow{j'}-\overrightarrow{j}\right)+h'(t).\left(\overrightarrow{k'}-\overrightarrow{k}\right)+\overrightarrow{\Omega}\land\overrightarrow{O_{1}M}=\overrightarrow{0}

Posté par
diracre : Composition de mouvement 18-01-17 à 08:13

Hello

Arrivé là Cloudnine regrette peut être d'avoir ouvert ce message ...

@Vanoise, (tout d'abord un grand merci pour avoir, pour le "fun" creusé le sujet). Je crains que cette dernière égalité ne nous "garantisse" pas l'égalité des vecteurs de base et la nullité du vecteur rotation Le plan B, en s'affranchissant de l'ordre des questions de l'exercice, serait peut être à partir des expressions des accélérations de prouver que j = j' (seule composantes fonction du temps), puis i=i' et k=k'. A voir ... ou pas.
Le sujet n'est vraiment pas fondamental d'un point de vue "physique" (et même de manière générale), à moins que les températures ne baissent encore

Posté par
vanoisere : Composition de mouvement 18-01-17 à 11:18

Bonjour
Je me demande s'il n'y a pas un théorème de math (que j'aurais totalement oublié...) qui permettrait d'affirmer que, pour que l'égalité que j'ai posée hier soir :

f(t).\left(\overrightarrow{i'}-\overrightarrow{i}\right)+g(t).\left(\overrightarrow{j'}-\overrightarrow{j}\right)+h(t).\left(\overrightarrow{k'}-\overrightarrow{k}\right)=\overrightarrow{0}\;\forall t
soit valide, sachant que f(t), g(t) et g(t) sont trois expressions quelconques a priori non nulles, il faut et il suffit :

\overrightarrow{i'}-\overrightarrow{i}=\overrightarrow{j'}-\overrightarrow{j}=\overrightarrow{k'}-\overrightarrow{k}=\overrightarrow{0}\;\forall t
???

Posté par
diracre : Composition de mouvement 18-01-17 à 11:35

Hello Vanoise

Le pbm justement est qu'elles ne sont pas quelconques. C'est la présences de polynômes de degré différents qui m'a permis de conclure. Ce que je ne trouvais pas "élégant" car très "maths" et pas "physique" (même si historiquement la mécanique était une science mathématique ).
Ne perdons pas de temps sur ce sujet. Si je croise une "tête en maths" je lui poserai la question. Et si j'obtiens une réponse instructive, je partagerai ici.

Un GRAND merci dans tous les cas.

@Cloudnine, toujours là?

Posté par
vanoisere : Composition de mouvement 18-01-17 à 12:02

Je n'ai pas "senti" le problème tout à fait comme toi. A partir du moment où il est possible de trouver un point O' origine de (R') en mouvement rectiligne uniforme par rapport à (R) , c'est le fait que les équations horaires soient identiques dans les deux repères qui me paraît essentiel... Mais bon : je ne suis pas capable de faire une démonstration rigoureuse de cela !

Posté par
CloudNinere : Composition de mouvement 21-01-17 à 16:26

Bonjour à tous,
Merci pour vos aides, explications.
Voilà ce qu'on a fait en classe:  

D'après le théorème de composition des vitesses on a:
\vec{v_a} = \vec{v_r} +\vec{v_e} \Leftrightarrow \vec{v_e} = \vec{v_a} - \vec{v_r} = -5
                                                              0
                                                              0
La vitesse d'entrainement est constant, le deuxième référentiel est en translation rectiligne uniforme est parallèlement à Ox avec une vitesse d'entrainement \parallel \vec{v} \parallel = -5.\vec{u_x}.

D'après le théorème de composition des accélérations on a:
\vec{a_a} =  \vec{a_r} + \vec{a_e} + \vec{a_c} = -5.\vec{u_x}.
\vec{a_c} =\vec{0}
\vec{a_r} =\vec{0}

On a  \vec{a_a} = \vec{a_e}
Les accélérations r et r' sont les mêmes car la vitesse d'entraînement est constante.

Bonne journée,
CloudNine,

Posté par
diracre : Composition de mouvement 21-01-17 à 17:04

Merci Cloudnine,

Vous avez donc admis d'entrée de jeu que les 3 vecteurs de base des 2 référentiels étaient confondus (c'était peut être qlq part dans l'énoncé de départ).

Hypothèse reprise avec sagesse par Vanoise.

Hypothèse que j'avais challengé. La démonstration que, du fait des équations horaires, les 3 vecteurs étaient effectivement confondus s'est avérée fastidieuse (construction d'un système de 3 équations à 9 inconnues + considération sur les polynômes en t ainsi construits).

Comme quoi, c'est bien aussi quand le cadre d'étude est précisément décrit.  


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île
Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île de la physique - chimie
© digiSchool 2024

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !